Determine uma equação cartesiana para a seguinte equação polar e identifique a curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação em coordenadas polares: . Nosso objetivo é transformar essa equação para o sistema de coordenadas cartesianas e descobrir que tipo de curva ela representa. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas, como e .

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os dois lados da equação por para eliminar o denominador:
Isso fica assim:

Passo 3

Agora, vamos substituir por , já que :

Passo 4

A gente ainda tem na equação, mas queremos tudo em termos de e . Sabemos que , então vamos substituir isso:

Passo 5

Vamos isolar o termo com a raiz:
Agora, dividimos ambos os lados por 2:

Passo 6

Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Calculando o lado direito:

Passo 7

Multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar o denominador:

Passo 8

Vamos organizar os termos e trazer tudo para um lado da equação:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 9

Agora, para identificar a curva, vamos completar o quadrado nos termos de :
Primeiro, reorganizamos:
Fatoramos o coeficiente de :
Completando o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Explicando: isso nos ajuda a colocar a equação na forma padrão de uma conic.

Passo 10

Após simplificar, chegamos à equação padrão de uma hipérbole:
Isso confirma que a curva é uma hipérbole.

Resposta

A equação cartesiana correspondente é , e a curva é uma hipérbole.

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Seja a união do primeiro e terceiro quadrantes no plano , ou seja,
Se pertencer a e for escalar, pertencerá a ? Por quê? Verifique se é um espaço vetorial.
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(iv)
Encontre uma base para o espaço gerado pelos vetores
Dê as equações polares das seguintes curvas:
  • da parábola .