Determine uma equação cartesiana para a seguinte equação polar r=32+3 sen(theta) e identifique a curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação em coordenadas polares: . Nosso objetivo é transformar essa equação para o sistema de coordenadas cartesianas e descobrir que tipo de curva ela representa. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas, como e .

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os dois lados da equação por para eliminar o denominador:
Isso fica assim:

Passo 3

Agora, vamos substituir por 2r + 3y = 3 , já que :

Passo 4

A gente ainda tem 2raizx^2 + y^2 + 3y = 3 na equação, mas queremos tudo em termos de e . Sabemos que , então vamos substituir isso:

Passo 5

Vamos isolar o termo com a raiz:
2raizx^2 + y^2 = 3 - 3y
Agora, dividimos ambos os lados por 2:
raizx^2 + y^2 = 3 - 3y2

Passo 6

Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
x^2 + y^2 = (3 - 3y2)^2
Calculando o lado direito:
x^2 + y^2 = (3 - 3y)^24 = 9 - 18y + 9y^24

Passo 7

Multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
4x^2 + 4y^2 = 9 - 18y + 9y^2

Passo 8

Vamos organizar os termos e trazer tudo para um lado da equação:
4x^2 + 4y^2 - 9 + 18y - 9y^2 = 0
Simplificando os termos semelhantes:
4x^2 - 5y^2 + 18y - 9 = 0

Passo 9

Agora, para identificar a curva, vamos completar o quadrado nos termos de -5y^2 + 18y = -4x^2 + 9 :
Primeiro, reorganizamos:
-5(y^2 - 185y) = -4x^2 + 9
Fatoramos o coeficiente de y^2 - 185y + (95)^2 = (95)^2 :
-5( (y - 95)^2 - (95)^2 ) = -4x^2 + 9
Completando o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Explicando: isso nos ajuda a colocar a equação na forma padrão de uma conic.

Passo 10

Após simplificar, chegamos à equação padrão de uma hipérbole:
(y - 95)^2(95)^2 - x^2(910)^2 = 1
Isso confirma que a curva é uma hipérbole.

Resposta

A equação cartesiana correspondente é , e a curva é uma hipérbole.

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