Determine uma equação cartesiana para a seguinte equação polar
e identifique a curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação em coordenadas polares: . Nosso objetivo é transformar essa equação para o sistema de coordenadas cartesianas e descobrir que tipo de curva ela representa. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas, como
e .
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar os dois lados da equação por para eliminar o denominador:
Isso fica assim:
Passo 3
Agora, vamos substituir por
, já que :
Passo 4
A gente ainda tem
na equação, mas queremos tudo em termos de
e
. Sabemos que
, então vamos substituir isso:
Passo 5
Vamos isolar o termo com a raiz:
Agora, dividimos ambos os lados por 2:
Passo 6
Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Calculando o lado direito:
Passo 7
Multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
Passo 8
Vamos organizar os termos e trazer tudo para um lado da equação:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 9
Agora, para identificar a curva, vamos completar o quadrado nos termos de
:
Primeiro, reorganizamos:
Fatoramos o coeficiente de
:
Completando o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Explicando: isso nos ajuda a colocar a equação na forma padrão de uma conic.
Passo 10
Após simplificar, chegamos à equação padrão de uma hipérbole:
Isso confirma que a curva é uma hipérbole.
Resposta
A equação cartesiana correspondente é
, e a curva é uma hipérbole.
Exercícios relacionados
Seja
a união do primeiro e terceiro quadrantes no plano
, ou seja,
Se
pertencer a
e
for escalar,
pertencerá a
? Por quê? Verifique se
é um espaço vetorial.
Os pontos abaixo foram fornecidos em coordenadas polares. Passe para coordenas cartesianas:
(iv)
(iv)
Encontre uma base para o espaço gerado pelos vetores
Dê as equações polares das seguintes curvas:
- da parábola
.