Seja
a união do primeiro e terceiro quadrantes no plano
, ou seja,
Se
pertencer a
e
for escalar,
pertencerá a
? Por quê? Verifique se
é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar se, dado um conjunto
que representa a união do primeiro e terceiro quadrantes no plano
, certas propriedades são verdadeiras. O conteúdo aqui envolve espaços vetoriais e operações com vetores. Para isso, vamos precisar entender o que significa um espaço vetorial e verificar se
satisfaz as regras necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o conjunto
. Ele é definido como:
Isso significa que
inclui todos os vetores onde o produto das componentes
e
é maior ou igual a zero. Geometricamente, isso corresponde ao primeiro e ao terceiro quadrantes no plano
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se, para qualquer vetor
em
e qualquer escalar
, o produto
também pertence a
. Isso é uma das propriedades necessárias para que
seja um espaço vetorial, chamada de fechamento pela multiplicação escalar.
Passo 4
Vamos considerar um vetor
que está em
, ou seja,
. Agora, vamos multiplicar esse vetor por um escalar
, obtendo
.
Passo 5
Para
estar em
, o produto das novas componentes deve ser maior ou igual a zero:
Como
é sempre não negativo (já que qualquer número ao quadrado é positivo ou zero), e
por definição de
, o produto
também será maior ou igual a zero. Portanto,
pertence a
.
Passo 6
Além disso, para que
seja um espaço vetorial, além do fechamento pela multiplicação escalar, todas as outras propriedades devem ser verificadas, como fechamento pela adição, existência do vetor zero, entre outras. No entanto, já podemos observar que
não contém o vetor zero
de forma clara, já que
, que satisfaz a condição
, mas precisamos verificar a adição.
Passo 7
Considere dois vetores em
, por exemplo,
e
. Ambos pertencem a
porque
e
. Mas a soma
também pertence a
. Porém, se escolhermos
e
, a soma seria
, que ainda satisfaz
. Mas para outros casos, pode não satisfazer, indicando que nem sempre a soma de vetores em
está em
.
Resposta
Não,
não é um espaço vetorial. Embora o fechamento pela multiplicação escalar seja satisfeito, a soma de dois vetores em
nem sempre resulta em um vetor que também pertence a
, violando assim uma das propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Os pontos abaixo foram fornecidos em coordenadas polares. Passe para coordenas cartesianas:
(iv)
(iv)
Dê as equações polares das seguintes curvas:
- da hipérbole
.
Determine uma equação cartesiana para a seguinte equação polar
e identifique a curva.
Encontre uma base para o espaço gerado pelos vetores