Determine a equação do círculo de centro
que é tangente a reta
.
Lembrando que a distância de um ponto a uma reta é
.
Lembrando que a distância de um ponto a uma reta é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a equação de um círculo que tem o centro no ponto
e que é tangente à reta
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre a equação geral de um círculo e como calcular a distância entre um ponto e uma reta. A fórmula que vamos usar para a distância é:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação geral de um círculo. Ela é dada por:
Onde
é o centro do círculo e
é o raio. No nosso caso, o centro é
, então
e
. Precisamos encontrar o valor de
.
Passo 3
Como o círculo é tangente à reta
, a distância do centro do círculo a essa reta será exatamente igual ao raio
. Vamos usar a fórmula da distância para encontrar
.
Identificando os valores na fórmula:
Agora, substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Calculando o numerador:
O valor absoluto de
é
.
Calculando o denominador:
Então, a distância
é:
Passo 5
Agora que encontramos a distância
, que é o raio
do círculo, podemos escrever a equação do círculo usando a fórmula geral.
Substituindo
,
e
na equação:
Simplificando:
Resposta
A equação do círculo é:
Exercícios relacionados
Obtenha duas parametrizações distintas para a reta que passa pelos pontos
e
. Para cada uma das parametrizações, indique os parâmetros correspondentes ao ponto
e ao ponto médio dos pontos
e
.
Determine a equação da esfera cujo diâmetro é o segmento que liga
a
.
Determine equações cartesiana e vetorial do plano que contém o ponto
e é paralelo aos vetores
e
.
Considere os vetores no
:
Calcule