Determine a equação do círculo de centro (-3,1) que é tangente a reta 3 x-4 y-2=0.
Lembrando que a distância de um ponto a uma reta é d=|A x+B y+C|raizA^2+B^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a equação de um círculo que tem o centro no ponto (-3, 1) e que é tangente à reta 3x - 4y - 2 = 0. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre a equação geral de um círculo e como calcular a distância entre um ponto e uma reta. A fórmula que vamos usar para a distância é:
d = |A x + B y + C|raizA^2 + B^2

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação geral de um círculo. Ela é dada por:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde (h, k) é o centro do círculo e r é o raio. No nosso caso, o centro é (-3, 1), então h = -3 e k = 1. Precisamos encontrar o valor de r.

Passo 3

Como o círculo é tangente à reta 3x - 4y - 2 = 0, a distância do centro do círculo a essa reta será exatamente igual ao raio r. Vamos usar a fórmula da distância para encontrar r.
Identificando os valores na fórmula:
  • A = 3
  • B = -4
  • C = -2
  • (x, y) = (-3, 1)
Agora, substituindo na fórmula:
d = |3 cdot (-3) + (-4) cdot 1 - 2|raiz3^2 + (-4)^2

Passo 4

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Calculando o numerador:
3 cdot (-3) + (-4) cdot 1 - 2 = -9 -4 -2 = -15
O valor absoluto de -15 é 15.
Calculando o denominador:
raiz3^2 + (-4)^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Então, a distância d é:
d = 155 = 3

Passo 5

Agora que encontramos a distância d = 3, que é o raio r do círculo, podemos escrever a equação do círculo usando a fórmula geral.
Substituindo h = -3, k = 1 e r = 3 na equação:
(x - (-3))^2 + (y - 1)^2 = 3^2
Simplificando:
(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 9

Resposta

A equação do círculo é:
(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 9

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