Determine equações cartesiana e vetorial do plano que contém o ponto e é paralelo aos vetores e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações cartesiana e vetorial de um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e parametrizações de planos.

Passo 2

Primeiro, para achar a equação cartesiana do plano, precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Um jeito de fazer isso é calculando o produto vetorial entre os dois vetores que são paralelos ao plano, ou seja, e . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial :

Passo 4

Agora que temos o vetor normal , podemos usar a equação geral do plano:
Onde é o ponto dado no plano, que é .

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
Simplificando:
Multiplicando por -1 para deixar a equação mais simples:

Passo 6

Então, a equação cartesiana do plano é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a equação vetorial do plano. A equação vetorial usa o ponto conhecido no plano e os vetores paralelos para expressar qualquer ponto no plano.
A equação vetorial fica assim:
Onde , e , e e são escalares.

Resposta

A equação cartesiana do plano é e a equação vetorial é , onde e são números reais.

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Lembrando que a distância de um ponto a uma reta é .
Obtenha duas parametrizações distintas para a reta que passa pelos pontos e . Para cada uma das parametrizações, indique os parâmetros correspondentes ao ponto e ao ponto médio dos pontos e .
Considere os vetores no :
Calcule
Identifique a curva cuja equação é: