Determine equações cartesiana e vetorial do plano que contém o ponto A=(1,2,0) e é paralelo aos vetores v=(1,1,2) e w=(1,0,-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações cartesiana e vetorial de um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e parametrizações de planos.

Passo 2

Primeiro, para achar a equação cartesiana do plano, precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Um jeito de fazer isso é calculando o produto vetorial entre os dois vetores que são paralelos ao plano, ou seja, e . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial n = i & j & k 1 & 1 & 2 1 & 0 & -2 = i(1 cdot (-2) - 2 cdot 0) - j(1 cdot (-2) - 2 cdot 1) + k(1 cdot 0 - 1 cdot 1) :
n = i(-2) - j(-4) + k(-1) = (-2, 4, -1)

Passo 4

Agora que temos o vetor normal n cdot (x - x0, y - y0, z - z0) = 0 , podemos usar a equação geral do plano:
Onde é o ponto dado no plano, que é .

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
-2(x - 1) + 4(y - 2) -1(z - 0) = 0
Simplificando:
-2x + 2 + 4y - 8 - z = 0
-2x + 4y - z -6 = 0
Multiplicando por -1 para deixar a equação mais simples:
2x - 4y + z +6 = 0

Passo 6

Então, a equação cartesiana do plano é:
2x - 4y + z + 6 = 0

Passo 7

Agora, vamos encontrar a equação vetorial do plano. A equação vetorial usa o ponto conhecido no plano e os vetores paralelos para expressar qualquer ponto r = A + sv + tw no plano.
A equação vetorial fica assim:
Onde , e , e e são escalares.

Resposta

A equação cartesiana do plano é e a equação vetorial é , onde e são números reais.

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