Uma partícula começa na origem com velocidade inicial
. Sua aceleração é a
. Determine sua função posição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que começa na origem com uma velocidade inicial de
. A aceleração dela varia com o tempo e é dada por
. Nosso objetivo aqui é encontrar a função posição dessa partícula, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos lembrar de alguns conceitos de cinemática:
- Aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
- Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Então, para encontrar a posição, vamos primeiro integrar a aceleração para achar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para achar a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função velocidade
integrando a aceleração
em relação ao tempo.
A aceleração é:
Integrando cada componente:
-
Para a componente
: -
Para a componente
: -
Para a componente
:
Agora, juntando tudo:
Passo 3
Agora, precisamos determinar as constantes de integração
,
e
. Para isso, usamos a informação da velocidade inicial.
A velocidade inicial é dada por
.
Vamos substituir
na expressão de
:
Igualando aos valores iniciais:
Então, a função velocidade fica:
Passo 4
Agora que temos a função velocidade, vamos integrar novamente para achar a posição
.
Integrando cada componente de
:
-
Para a componente
: -
Para a componente
: -
Para a componente
:
Juntando tudo:
Passo 5
Precisamos agora encontrar as constantes de integração
,
e
. Sabemos que a partícula começa na origem, ou seja,
.
Substituindo
na expressão de
:
Igualando a zero:
Então, a função posição fica:
Resposta
A função posição da partícula é:
Exercícios relacionados
Em cada uma das afirmações coloque V se a afirmação for verdadeira ou F se a afirmação for falsa e em todos os casos justifique a sua escolha.
© ( ) .
© ( )
Determine uma equação do círculo osculador da curva
na origem. Faça o gráfico da curva e do círculo osculador.
Seja
:
e considere em
as coordenadas polares dadas por
e y
. Calcule
e
.
No projeto de curvas de transferência, usadas para para ligar trechos de ferrovia em trilhos retos, é importante perceber que a aceleração do trem deve ser contínua, de modo que a força de reação exercida pelo trem na pista também é contínua. Por causa das fórmulas para os componentes de aceleração na Seção 13.4, este só será o caso se a curvatura variar continuamente.
(a) Um candidato lógico à curva de transferência para juntar dois trilhos existentes dados por para
e
para
poderia ser a função
.
(b) Suponha que a partícula tenha uma massa . Mostre que a magnitude da força
que é necessária para produzir esse movimento, denominada força centrípeta, é
(a) Um candidato lógico à curva de transferência para juntar dois trilhos existentes dados por
(b) Suponha que a partícula tenha uma massa