Uma partícula começa na origem com velocidade inicial . Sua aceleração é a . Determine sua função posição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que começa na origem com uma velocidade inicial de . A aceleração dela varia com o tempo e é dada por . Nosso objetivo aqui é encontrar a função posição dessa partícula, ou seja, .
Para resolver isso, vamos lembrar de alguns conceitos de cinemática:
  1. Aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
  2. Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Então, para encontrar a posição, vamos primeiro integrar a aceleração para achar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para achar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função velocidade integrando a aceleração em relação ao tempo.
A aceleração é:
Integrando cada componente:
  • Para a componente :
  • Para a componente :
  • Para a componente :
Agora, juntando tudo:

Passo 3

Agora, precisamos determinar as constantes de integração , e . Para isso, usamos a informação da velocidade inicial.
A velocidade inicial é dada por .
Vamos substituir na expressão de :
Igualando aos valores iniciais:
Então, a função velocidade fica:

Passo 4

Agora que temos a função velocidade, vamos integrar novamente para achar a posição .
Integrando cada componente de :
  • Para a componente :
  • Para a componente :
  • Para a componente :
Juntando tudo:

Passo 5

Precisamos agora encontrar as constantes de integração , e . Sabemos que a partícula começa na origem, ou seja, .
Substituindo na expressão de :
Igualando a zero:
Então, a função posição fica:

Resposta

A função posição da partícula é:

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Em cada uma das afirmações coloque V se a afirmação for verdadeira ou F se a afirmação for falsa e em todos os casos justifique a sua escolha.
© ( ) .
Determine uma equação do círculo osculador da curva na origem. Faça o gráfico da curva e do círculo osculador.
Seja : e considere em as coordenadas polares dadas por e y . Calcule e .
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