Uma partícula começa na origem com velocidade inicial
. Sua aceleração é a
. Determine sua função posição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que começa na origem com uma velocidade inicial de
. A aceleração dela varia com o tempo e é dada por
. Nosso objetivo aqui é encontrar a função posição dessa partícula, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos lembrar de alguns conceitos de cinemática:
- Aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
- Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Então, para encontrar a posição, vamos primeiro integrar a aceleração para achar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para achar a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função velocidade
integrando a aceleração
em relação ao tempo.
A aceleração é:
Integrando cada componente:
-
Para a componente
: -
Para a componente
: -
Para a componente
:
Agora, juntando tudo:
Passo 3
Agora, precisamos determinar as constantes de integração
,
e
. Para isso, usamos a informação da velocidade inicial.
A velocidade inicial é dada por
.
Vamos substituir
na expressão de
:
Igualando aos valores iniciais:
Então, a função velocidade fica:
Passo 4
Agora que temos a função velocidade, vamos integrar novamente para achar a posição
.
Integrando cada componente de
:
-
Para a componente
: -
Para a componente
: -
Para a componente
:
Juntando tudo:
Passo 5
Precisamos agora encontrar as constantes de integração
,
e
. Sabemos que a partícula começa na origem, ou seja,
.
Substituindo
na expressão de
:
Igualando a zero:
Então, a função posição fica:
Resposta
A função posição da partícula é: