Uma partícula começa na origem com velocidade inicial i - j + 3k. Sua aceleração é a t = 6t i + 12t^2 j - 6t k. Determine sua função posição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que começa na origem com uma velocidade inicial de . A aceleração dela varia com o tempo e é dada por . Nosso objetivo aqui é encontrar a função posição dessa partícula, ou seja, r(t).
Para resolver isso, vamos lembrar de alguns conceitos de cinemática:
  1. Aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
  2. Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Então, para encontrar a posição, vamos primeiro integrar a aceleração para achar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para achar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função velocidade v(t) integrando a aceleração a(t) em relação ao tempo.
A aceleração é:
Integrando cada componente:
  • Para a componente i:
  • Para a componente j:
  • Para a componente k:
Agora, juntando tudo:

Passo 3

Agora, precisamos determinar as constantes de integração , e . Para isso, usamos a informação da velocidade inicial.
A velocidade inicial é dada por .
Vamos substituir na expressão de v(t):
Igualando aos valores iniciais:
Então, a função velocidade fica:

Passo 4

Agora que temos a função velocidade, vamos integrar novamente para achar a posição r(t).
Integrando cada componente de v(t):
  • Para a componente i:
  • Para a componente j:
  • Para a componente k:
Juntando tudo:

Passo 5

Precisamos agora encontrar as constantes de integração , e . Sabemos que a partícula começa na origem, ou seja, .
Substituindo na expressão de r(t):
Igualando a zero:
Então, a função posição fica:

Resposta

A função posição da partícula é:

Exercícios relacionados