Determine a equação do círculo que passa pelos pontos e .

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício de Geometria Analítica. A gente precisa encontrar a equação de um círculo que passa por três pontos específicos: , e . Para isso, vamos usar a equação geral do círculo e montar um sistema de equações que nos ajudará a descobrir o centro e o raio desse círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral de um círculo. Ela é dada por:
Aqui, são as coordenadas do centro do círculo, e é o raio. Nosso objetivo é encontrar , e .

Passo 3

Como o círculo passa por três pontos, podemos substituir cada um desses pontos na equação do círculo para formar um sistema de três equações. Vamos fazer isso.
Para o ponto :
Para o ponto :
Para o ponto :

Passo 4

Agora, vamos simplificar essas equações. Expandindo os termos, temos:



Passo 5

Vamos subtrair a segunda equação da primeira e da terceira para eliminar e encontrar relações entre e .
Primeira equação menos a segunda:
Expandindo:
Simplificando:
Dividindo por 2:
Terceira equação menos a segunda:
Expandindo:
Simplificando:
Dividindo por 2:

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos substituir da primeira equação na segunda:
Expandindo:
Simplificando:
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 7

Com e , vamos encontrar o raio usando uma das equações originais. Vamos usar a segunda equação:

Resposta

A equação do círculo que passa pelos pontos , e é:

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