Determine a equação do círculo que passa pelos pontos (-1,2),(0,1) e (-3,2).

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício de Geometria Analítica. A gente precisa encontrar a equação de um círculo que passa por três pontos específicos: (-1,2), (0,1) e (-3,2). Para isso, vamos usar a equação geral do círculo e montar um sistema de equações que nos ajudará a descobrir o centro e o raio desse círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral de um círculo. Ela é dada por:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Aqui, (h,k) são as coordenadas do centro do círculo, e r é o raio. Nosso objetivo é encontrar h, k e r.

Passo 3

Como o círculo passa por três pontos, podemos substituir cada um desses pontos na equação do círculo para formar um sistema de três equações. Vamos fazer isso.
Para o ponto (-1,2):
(-1 - h)^2 + (2 - k)^2 = r^2
Para o ponto (0,1):
(0 - h)^2 + (1 - k)^2 = r^2
Para o ponto (-3,2):
(-3 - h)^2 + (2 - k)^2 = r^2

Passo 4

Agora, vamos simplificar essas equações. Expandindo os termos, temos:
  1. (-1 - h)^2 + (2 - k)^2 = r^2
    Rightarrow (h + 1)^2 + (k - 2)^2 = r^2
  2. (0 - h)^2 + (1 - k)^2 = r^2
    Rightarrow h^2 + (k - 1)^2 = r^2
  3. (-3 - h)^2 + (2 - k)^2 = r^2
    Rightarrow (h + 3)^2 + (k - 2)^2 = r^2

Passo 5

Vamos subtrair a segunda equação da primeira e da terceira para eliminar r^2 e encontrar relações entre h e k.
Primeira equação menos a segunda:
(h + 1)^2 + (k - 2)^2 - [h^2 + (k - 1)^2] = 0
Expandindo:
h^2 + 2h + 1 + k^2 - 4k + 4 - h^2 - k^2 + 2k - 1 = 0
Simplificando:
2h - 2k + 4 = 0
Dividindo por 2:
h - k + 2 = 0
Rightarrow h = k - 2
Terceira equação menos a segunda:
(h + 3)^2 + (k - 2)^2 - [h^2 + (k - 1)^2] = 0
Expandindo:
h^2 + 6h + 9 + k^2 - 4k + 4 - h^2 - k^2 + 2k - 1 = 0
Simplificando:
6h - 2k + 12 = 0
Dividindo por 2:
3h - k + 6 = 0

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. h = k - 2
  2. 3h - k + 6 = 0
Vamos substituir h da primeira equação na segunda:
3(k - 2) - k + 6 = 0
Expandindo:
3k - 6 - k + 6 = 0
Simplificando:
2k = 0
Rightarrow k = 0
Agora, substituímos k = 0 na primeira equação:
h = 0 - 2
Rightarrow h = -2

Passo 7

Com h = -2 e k = 0, vamos encontrar o raio r usando uma das equações originais. Vamos usar a segunda equação:
h^2 + (k - 1)^2 = r^2
(-2)^2 + (0 - 1)^2 = r^2
4 + 1 = r^2
5 = r^2
Rightarrow r = raiz5

Resposta

A equação do círculo que passa pelos pontos (-1,2), (0,1) e (-3,2) é:
(x + 2)^2 + y^2 = 5

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