Determine a equação do círculo que passa pelos pontos
e
.
Passo 1
Então, vamos resolver um exercício de Geometria Analítica. A gente precisa encontrar a equação de um círculo que passa por três pontos específicos:
,
e
. Para isso, vamos usar a equação geral do círculo e montar um sistema de equações que nos ajudará a descobrir o centro e o raio desse círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral de um círculo. Ela é dada por:
Aqui,
são as coordenadas do centro do círculo, e
é o raio. Nosso objetivo é encontrar
,
e
.
Passo 3
Como o círculo passa por três pontos, podemos substituir cada um desses pontos na equação do círculo para formar um sistema de três equações. Vamos fazer isso.
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essas equações. Expandindo os termos, temos:
Passo 5
Vamos subtrair a segunda equação da primeira e da terceira para eliminar
e encontrar relações entre
e
.
Primeira equação menos a segunda:
Expandindo:
Simplificando:
Dividindo por 2:
Terceira equação menos a segunda:
Expandindo:
Simplificando:
Dividindo por 2:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos substituir
da primeira equação na segunda:
Expandindo:
Simplificando:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 7
Com
e
, vamos encontrar o raio
usando uma das equações originais. Vamos usar a segunda equação:
Resposta
A equação do círculo que passa pelos pontos
,
e
é:
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vetores do
. Determine os valores de
e
, tal que
.
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