Determine uma equação da circunferência:
c) tal que (1,-2) e (3,4) sejam diametralmente opostos

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma circunferência onde os pontos e são diametralmente opostos. Isso significa que eles são as extremidades de um diâmetro da circunferência. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como o centro e o raio da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da circunferência. Já que M = ( x1 + x22, y1 + y22 ) e M = ( 1 + 32, -2 + 42 ) = ( 42, 22 ) = (2, 1) são os pontos extremos do diâmetro, o centro é o ponto médio entre eles. A fórmula para o ponto médio entre dois pontos e é:
Aplicando os valores:
Então, o centro da circunferência é .

Passo 3

Agora, vamos determinar o raio da circunferência. Sabemos que o diâmetro é a distância entre os dois pontos dados. Primeiro, calculamos essa distância usando a fórmula da distância entre dois pontos:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Substituindo os valores:
d = raiz(3 - 1)^2 + (4 - (-2))^2 = raiz2^2 + 6^2 = raiz4 + 36 = raiz40 = 2raiz10
Como o raio r = d2 = 2raiz102 = raiz10 é metade do diâmetro:

Passo 4

Com o centro (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 e o raio (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (raiz10)^2 , podemos escrever a equação da circunferência usando a fórmula padrão:
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 10
Onde é o centro e é o raio. Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da circunferência é:
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 10

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