Seja x1 O^prime y1 o sistema obtido de x O y por uma rotação de 30^circ no sentido anti horário, e x2 O^prime prime y2 o sistema obtido de x1 O^prime y1 por uma translação em que a nova origem (no sistema x1 O^prime y1) é o ponto (3,2).
a) Determine as coordenadas do ponto P nos sistemas x O y e x2 O^prime prime y2, sabendo que no sistema x1 O^prime y1 ele é dado por (2,1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três sistemas de coordenadas:
  1. Sistema original: .
  2. Primeiro sistema rotacionado: , que foi obtido a partir do sistema por uma rotação de no sentido anti-horário.
  3. Segundo sistema transladado: , que foi obtido a partir do sistema por uma translação, onde a nova origem é o ponto .
Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do ponto nos sistemas e , sabendo que no sistema as coordenadas de são .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de rotação de sistemas de coordenadas e translação de sistemas de coordenadas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de x = x'1 cos(theta) + y'1 sin(theta) y = -x'1 sin(theta) + y'1 cos(theta) no sistema original . Sabemos que o sistema foi obtido a partir de por uma rotação de no sentido anti-horário.
Para voltar do sistema rotacionado para o sistema original, precisamos aplicar uma rotação no sentido horário de . As fórmulas de rotação de coordenadas são:
Onde .

Passo 3

Vamos aplicar as fórmulas de rotação para encontrar theta = 30^circ cos(30^circ) = raiz32 sin(30^circ) = 12 e x = 2 times raiz32 + 1 times 12 = raiz3 + 12 :
y = -2 times 12 + 1 times raiz32 = -1 + raiz32
Substituindo os valores e as coordenadas de no sistema ( , ):

Passo 4

Agora, vamos simplificar os valores:
x = raiz3 + 12 approx 1,732 + 0,5 = 2,232
y = -1 + raiz32 approx -1 + 0,866 = -0,134
Portanto, as coordenadas de no sistema original são aproximadamente .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas de x'' = x'1 - a y'' = y'1 - b no sistema transladado . Sabemos que este sistema foi obtido a partir do sistema por uma translação, onde a nova origem é o ponto .
A fórmula para a translação de um ponto é:
Onde são as coordenadas do novo ponto de origem.

Passo 6

Aplicando a translação às coordenadas de x'' = 2 - 3 = -1 no sistema y'' = 1 - 2 = -1 ( , ):
Então, as coordenadas de no sistema transladado são .

Resposta

As coordenadas do ponto são aproximadamente no sistema original e no sistema transladado .

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Determine uma equação da circunferência:
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Seja x1 O^prime y1 um sistema obtido de x O y por uma translação. Determine a nova origem O^prime,
sabendo que um determinado ponto tem coordenadas (3,4) no sistema x O y e (-2,3) no sistema x1 O^prime y1.
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