Seja
o sistema obtido de
por uma rotação de
no sentido anti horário, e
o sistema obtido de
por uma translação em que a nova origem (no sistema
é o ponto
.
a) Determine as coordenadas do ponto
nos sistemas
e
, sabendo que no sistema
ele é dado por
.
a) Determine as coordenadas do ponto
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três sistemas de coordenadas:
- Sistema original:
. - Primeiro sistema rotacionado:
, que foi obtido a partir do sistema por uma rotação de no sentido anti-horário. - Segundo sistema transladado:
, que foi obtido a partir do sistema por uma translação, onde a nova origem é o ponto .
Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do ponto
nos sistemas
e
, sabendo que no sistema
as coordenadas de
são
.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de rotação de sistemas de coordenadas e translação de sistemas de coordenadas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de
no sistema original
. Sabemos que o sistema
foi obtido a partir de
por uma rotação de
no sentido anti-horário.
Para voltar do sistema rotacionado para o sistema original, precisamos aplicar uma rotação no sentido horário de
. As fórmulas de rotação de coordenadas são:
Onde
.
Passo 3
Vamos aplicar as fórmulas de rotação para encontrar
e
:
Substituindo os valores e as coordenadas de
no sistema
(
,
):
Passo 4
Agora, vamos simplificar os valores:
Portanto, as coordenadas de
no sistema original
são aproximadamente
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as coordenadas de
no sistema transladado
. Sabemos que este sistema foi obtido a partir do sistema
por uma translação, onde a nova origem é o ponto
.
A fórmula para a translação de um ponto é:
Onde
são as coordenadas do novo ponto de origem.
Passo 6
Aplicando a translação às coordenadas de
no sistema
(
,
):
Então, as coordenadas de
no sistema transladado
são
.
Resposta
As coordenadas do ponto
são aproximadamente
no sistema original
e
no sistema transladado
.
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Determine uma equação da circunferência:
c) tal que e
sejam diametralmente opostos
c) tal que
Determine uma equação da circunferência:
b) com centro em e contendo o ponto
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Seja
um sistema obtido de
por uma translação. Determine a nova origem
,
sabendo que um determinado ponto tem coordenadas no sistema
e
no sistema
.
sabendo que um determinado ponto tem coordenadas
Determine uma equação da circunferência:
a) com centro em e raio 3
a) com centro em