Seja x1 O^prime y1 um sistema obtido de x O y por uma translação. Determine a nova origem O^prime,
sabendo que um determinado ponto tem coordenadas (3,4) no sistema x O y e (-2,3) no sistema x1 O^prime y1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois sistemas de coordenadas, e , que estão relacionados por uma translação. Translação é quando você move todo o sistema de coordenadas para outro lugar sem girar nem mudar de tamanho. A gente sabe as coordenadas de um ponto em cada sistema: no é e no é . Nosso objetivo aqui é descobrir onde fica a nova origem após essa translação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com as coordenadas quando fazemos uma translação. Se a translação for de um vetor x' = x - h , então as coordenadas de um ponto no sistema original y' = y - k mudam para:
Aqui, e são os deslocamentos nas direções e , respectivamente. Nosso objetivo é encontrar esses valores e , que vão nos dizer exatamente para onde a origem se moveu, ou seja, qual é a nova origem .

Passo 3

Vamos usar as coordenadas do ponto que a gente conhece nos dois sistemas para achar x = 3 e y = 4 .
No sistema x' = -2 , o ponto é y' = 3 , então:
-2 = 3 - h Rightarrow h = 3 + 2 = 5
3 = 4 - k Rightarrow k = 4 - 3 = 1
No sistema , o mesmo ponto tem coordenadas , então:
Agora, vamos colocar esses valores nas equações da translação:

Resposta

A nova origem O' = (5,,1) está localizada no ponto . Portanto,

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