Determine a equação da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação da circunferência que passa pelos três pontos
,
e
. Isso está na área de geometria analítica. Para resolver, vamos precisar encontrar o centro e o raio da circunferência. Normalmente, fazemos isso encontrando as mediatrizes dos lados do triângulo formado pelos pontos e determinando onde elas se interceptam, que será o centro da circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos médios de dois lados do triângulo. Vou escolher os lados
e
.
-
Para o lado
: -
Para o lado
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as inclinações dos lados
e
. A inclinação de uma reta que passa por dois pontos
e
é dada por:
-
Para o lado
: -
Para o lado
:
Passo 4
As mediatrizes são perpendiculares aos lados do triângulo. Portanto, precisamos encontrar as inclinações das mediatrizes, que são os negativos recíprocos das inclinações dos lados.
-
Para
, a inclinação da mediatriz será: -
Para
, a inclinação da mediatriz será:
Passo 5
Agora, vamos escrever as equações das mediatrizes usando a forma da reta
, onde
é o ponto médio e
é a inclinação.
-
Para a mediatriz de
, que passa por e tem inclinação : Simplificando: -
Para a mediatriz de
, que passa por e tem inclinação : Simplificando:
Passo 6
Vamos encontrar o ponto de interseção dessas duas mediatrizes, que será o centro
da circunferência. Para isso, resolvemos o sistema de equações:
Igualando as duas equações:
Multiplicando tudo por 3 para eliminar as frações:
Subtraindo
e adicionando 27:
Agora, substituindo
em uma das equações para encontrar
:
Então, o centro da circunferência é
.
Passo 7
Agora, vamos calcular o raio
da circunferência, que é a distância entre o centro
e qualquer um dos pontos do triângulo. Vamos usar o ponto
. A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
Substituindo:
Resposta
A equação da circunferência circunscrita ao triângulo é:
Ou simplificando o raio:
Exercícios relacionados
Sejam
um espaço vetorial de dimensão finita e sejam
e
bases de
. Mostre que
.
Uma das diagonais de um losango é o segmento de extremos
e
. Determine a equação da reta suporte da outra diagonal.
Determine a equação da circunferência tangente à diretriz da parábola
e com centro no foco da parábola. Determine também os pontos de interseção desta circunferência com a parábola.
Sejam
e
. Se
é ortogonal a
e é ortogonal a
então
é:
a. 40
b. 72
c. 28
d. 36
e. 54
a. 40
b. 72
c. 28
d. 36
e. 54