Determine a equação da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices A(1,4), B(3,-2) e C(7,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação da circunferência que passa pelos três pontos , e . Isso está na área de geometria analítica. Para resolver, vamos precisar encontrar o centro e o raio da circunferência. Normalmente, fazemos isso encontrando as mediatrizes dos lados do triângulo formado pelos pontos e determinando onde elas se interceptam, que será o centro da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos médios de dois lados do triângulo. Vou escolher os lados MAB = ( 1 + 32, 4 + (-2)2 ) = (2, 1) e MAC = ( 1 + 72, 4 + 22 ) = (4, 3) .
  • Para o lado :
  • Para o lado :

Passo 3

Agora, vamos calcular as inclinações dos lados m = y2 - y1x2 - x1 e mAB = -2 - 43 - 1 = -62 = -3 . A inclinação de uma reta que passa por dois pontos mAC = 2 - 47 - 1 = -26 = -13 e é dada por:
  • Para o lado :
  • Para o lado :

Passo 4

As mediatrizes são perpendiculares aos lados do triângulo. Portanto, precisamos encontrar as inclinações das mediatrizes, que são os negativos recíprocos das inclinações dos lados.
  • Para mperp AB = 13 , a inclinação da mediatriz mperp AC = 3 será:
  • Para , a inclinação da mediatriz será:

Passo 5

Agora, vamos escrever as equações das mediatrizes usando a forma da reta y - 1 = 13(x - 2) , onde y = 13x + 13 é o ponto médio e y - 3 = 3(x - 4) é a inclinação.
  • Para a mediatriz de y = 3x - 9 , que passa por e tem inclinação :
    Simplificando:
  • Para a mediatriz de , que passa por e tem inclinação :
    Simplificando:

Passo 6

Vamos encontrar o ponto de interseção dessas duas mediatrizes, que será o centro y = 13x + 13 y = 3x - 9 da circunferência. Para isso, resolvemos o sistema de equações:
13x + 13 = 3x - 9
Igualando as duas equações:
x + 1 = 9x - 27
Multiplicando tudo por 3 para eliminar as frações:
1 + 27 = 9x - x 28 = 8x x = 288 = 3.5
Subtraindo y = 3(3.5) - 9 = 10.5 - 9 = 1.5 e adicionando 27:
Agora, substituindo em uma das equações para encontrar :
Então, o centro da circunferência é .

Passo 7

Agora, vamos calcular o raio r = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 da circunferência, que é a distância entre o centro r = raiz(3.5 - 1)^2 + (1.5 - 4)^2 = raiz(2.5)^2 + (-2.5)^2 = raiz6.25 + 6.25 = raiz12.5 = 5raiz22 e qualquer um dos pontos do triângulo. Vamos usar o ponto . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Substituindo:

Resposta

A equação da circunferência circunscrita ao triângulo é:
( x - 72 )^2 + ( y - 32 )^2 = ( 5raiz22 )^2
Ou simplificando o raio:
( x - 3.5 )^2 + ( y - 1.5 )^2 = 12.5

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a. 40
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c. 28
d. 36
e. 54