Uma das diagonais de um losango é o segmento de extremos e . Determine a equação da reta suporte da outra diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um losango e uma das suas diagonais, que está representada pelo segmento com extremos nos pontos e . Nosso objetivo é encontrar a equação da reta que suporta a outra diagonal. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como determinação de pontos médios, cálculo de inclinação de retas e propriedades dos losangos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ponto médio da diagonal que já conhecemos. O ponto médio de um segmento é o ponto que está exatamente no meio entre os dois extremos. A fórmula para encontrar o ponto médio entre dois pontos e é:
Aplicando isso aos pontos e :
Então, o ponto médio é .
Passo 3
Agora, precisamos lembrar de uma propriedade importante dos losangos: as diagonais se interceptam formando ângulos retos e se bissetam, ou seja, se cortam ao meio. Isso significa que a outra diagonal também passará pelo ponto médio e será perpendicular à diagonal que já conhecemos.
Passo 4
Para encontrar a equação da reta da outra diagonal, primeiro precisamos determinar a inclinação (coeficiente angular) da diagonal conhecida. A inclinação entre dois pontos e é dada por:
Aplicando aos pontos e :
Então, a inclinação da diagonal conhecida é .
Passo 5
Como a outra diagonal é perpendicular a essa, sua inclinação será o negativo do inverso da inclinação da primeira. Ou seja, se a inclinação da primeira diagonal é , então a inclinação da segunda diagonal será:
Então, a inclinação da outra diagonal é .
Passo 6
Agora que temos a inclinação da segunda diagonal e sabemos que ela passa pelo ponto médio , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação: