Uma das diagonais de um losango é o segmento de extremos (1,4) e (3,2). Determine a equação da reta suporte da outra diagonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um losango e uma das suas diagonais, que está representada pelo segmento com extremos nos pontos (1,4) e (3,2). Nosso objetivo é encontrar a equação da reta que suporta a outra diagonal. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como determinação de pontos médios, cálculo de inclinação de retas e propriedades dos losangos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto médio da diagonal que já conhecemos. O ponto médio de um segmento é o ponto que está exatamente no meio entre os dois extremos. A fórmula para encontrar o ponto médio (Mx, My) entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
Mx = x1 + x22, My = y1 + y22
Aplicando isso aos pontos (1,4) e (3,2):
Mx = 1 + 32 = 2, My = 4 + 22 = 3
Então, o ponto médio M é (2,3).

Passo 3

Agora, precisamos lembrar de uma propriedade importante dos losangos: as diagonais se interceptam formando ângulos retos e se bissetam, ou seja, se cortam ao meio. Isso significa que a outra diagonal também passará pelo ponto médio M(2,3) e será perpendicular à diagonal que já conhecemos.

Passo 4

Para encontrar a equação da reta da outra diagonal, primeiro precisamos determinar a inclinação (coeficiente angular) da diagonal conhecida. A inclinação m entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dada por:
m = y2 - y1x2 - x1
Aplicando aos pontos (1,4) e (3,2):
m = 2 - 43 - 1 = -22 = -1
Então, a inclinação da diagonal conhecida é -1.

Passo 5

Como a outra diagonal é perpendicular a essa, sua inclinação será o negativo do inverso da inclinação da primeira. Ou seja, se a inclinação da primeira diagonal é m = -1, então a inclinação da segunda diagonal m' será:
m' = -1m = -1-1 = 1
Então, a inclinação da outra diagonal é 1.

Passo 6

Agora que temos a inclinação da segunda diagonal e sabemos que ela passa pelo ponto médio M(2,3), podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo m = 1 e (x1, y1) = (2,3):
y - 3 = 1(x - 2)
Simplificando:
y - 3 = x - 2
y = x + 1

Resposta

A equação da reta suporte da outra diagonal é y = x + 1.

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