Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e sejam alpha e beta bases de V. Mostre que [I]beta^alpha=([I]alpha^beta)^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que a matriz de identidade com respeito às bases beta e alpha, denotada por [I]beta^alpha, é igual ao inverso da matriz de identidade de alpha para beta, ou seja, ([I]alpha^beta)^-1. Vamos precisar entender o que são mudanças de base e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma mudança de base. Em um espaço vetorial V, se temos duas bases alpha e beta, a matriz de mudança de base de alpha para beta, denotada por [I]beta^alpha, nos permite converter coordenadas de um vetor de uma base para a outra.

Passo 3

A matriz [I]beta^alpha transforma as coordenadas de um vetor na base alpha para as coordenadas na base beta. Da mesma forma, [I]alpha^beta faz o inverso: converte de beta para alpha.

Passo 4

Para mostrar que [I]beta^alpha é o inverso de [I]alpha^beta, vamos lembrar que duas matrizes são inversas uma da outra se, quando multiplicadas, resultam na matriz identidade. Ou seja, precisamos mostrar que:
[I]beta^alpha cdot [I]alpha^beta = I

Passo 5

Multiplicando [I]beta^alpha por [I]alpha^beta, estamos essencialmente fazendo uma mudança de alpha para beta e depois de volta para alpha. Isso deve nos retornar ao ponto de partida, que é justamente a matriz identidade I.

Passo 6

Como a composição das duas mudanças de base resulta na identidade, isso significa que [I]beta^alpha e [I]alpha^beta são inversas uma da outra.

Resposta

Portanto, mostramos que [I]beta^alpha = ([I]alpha^beta)^-1.

Exercícios relacionados