Sejam um espaço vetorial de dimensão finita e sejam e bases de . Mostre que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que a matriz de identidade com respeito às bases e , denotada por , é igual ao inverso da matriz de identidade de para , ou seja, . Vamos precisar entender o que são mudanças de base e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma mudança de base. Em um espaço vetorial , se temos duas bases e , a matriz de mudança de base de para , denotada por , nos permite converter coordenadas de um vetor de uma base para a outra.
Passo 3
A matriz transforma as coordenadas de um vetor na base para as coordenadas na base . Da mesma forma, faz o inverso: converte de para .
Passo 4
Para mostrar que é o inverso de , vamos lembrar que duas matrizes são inversas uma da outra se, quando multiplicadas, resultam na matriz identidade. Ou seja, precisamos mostrar que:
Passo 5
Multiplicando por , estamos essencialmente fazendo uma mudança de para e depois de volta para . Isso deve nos retornar ao ponto de partida, que é justamente a matriz identidade .
Passo 6
Como a composição das duas mudanças de base resulta na identidade, isso significa que e são inversas uma da outra.