Sejam
um espaço vetorial de dimensão finita e sejam
e
bases de
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que a matriz de identidade com respeito às bases
e
, denotada por
, é igual ao inverso da matriz de identidade de
para
, ou seja,
. Vamos precisar entender o que são mudanças de base e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma mudança de base. Em um espaço vetorial
, se temos duas bases
e
, a matriz de mudança de base de
para
, denotada por
, nos permite converter coordenadas de um vetor de uma base para a outra.
Passo 3
A matriz
transforma as coordenadas de um vetor na base
para as coordenadas na base
. Da mesma forma,
faz o inverso: converte de
para
.
Passo 4
Para mostrar que
é o inverso de
, vamos lembrar que duas matrizes são inversas uma da outra se, quando multiplicadas, resultam na matriz identidade. Ou seja, precisamos mostrar que:
Passo 5
Multiplicando
por
, estamos essencialmente fazendo uma mudança de
para
e depois de volta para
. Isso deve nos retornar ao ponto de partida, que é justamente a matriz identidade
.
Passo 6
Como a composição das duas mudanças de base resulta na identidade, isso significa que
e
são inversas uma da outra.
Resposta
Portanto, mostramos que
.