Determine uma equação da circunferência:
d) que passa pelos pontos (0,0),(2,2) e (-1,-3)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a equação de uma circunferência que passa por três pontos: (0,0), (2,2) e (-1,-3). Para isso, vamos utilizar a fórmula geral da circunferência e resolver um sistema de equações.

Passo 2

A fórmula geral da circunferência é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
onde (h, k) é o centro e r é o raio. Nosso objetivo é encontrar os valores de h, k e r que satisfazem os três pontos dados.

Passo 3

Vamos substituir cada ponto na equação geral para obter um sistema de três equações:
Para (0,0):
(0 - h)^2 + (0 - k)^2 = r^2 Rightarrow h^2 + k^2 = r^2 (1)
Para (2,2):
(2 - h)^2 + (2 - k)^2 = r^2 Rightarrow (2 - h)^2 + (2 - k)^2 = r^2 (2)
Para (-1,-3):
(-1 - h)^2 + (-3 - k)^2 = r^2 Rightarrow (-1 - h)^2 + (-3 - k)^2 = r^2 (3)

Passo 4

Vamos simplificar as equações (2) e (3) usando a equação (1):
Expandindo a equação (2):
4 - 4h + h^2 + 4 - 4k + k^2 = r^2
Substituindo h^2 + k^2 por r^2 da equação (1):
8 - 4h - 4k = 0 Rightarrow 4h + 4k = 8 Rightarrow h + k = 2 (4)
Expandindo a equação (3):
1 + 2h + h^2 + 9 + 6k + k^2 = r^2
Substituindo h^2 + k^2 por r^2 da equação (1):
10 + 2h + 6k = 0 Rightarrow 2h + 6k = -10 Rightarrow h + 3k = -5 (5)

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
h + k = 2 (4) h + 3k = -5 (5)
Subtraindo a equação (4) da equação (5):
(h + 3k) - (h + k) = -5 - 2 Rightarrow 2k = -7 Rightarrow k = -72
Substituindo k na equação (4):
h - 72 = 2 Rightarrow h = 2 + 72 = 112

Passo 6

Agora que temos h = 112 e k = -72, vamos encontrar r usando a equação (1):
(112)^2 + (-72)^2 = r^2 Rightarrow 1214 + 494 = r^2 Rightarrow 1704 = r^2 Rightarrow r^2 = 852

Resposta

A equação da circunferência é:
(x - 112)^2 + (y + 72)^2 = 852

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