Determine uma equação da circunferência:
h) inscrita no triângulo
, em que
e
h) inscrita no triângulo
Passo 1
Então, a gente tem um triângulo com os vértices em
,
e
. A tarefa é encontrar a equação da circunferência inscrita nesse triângulo. Isso envolve geometria analítica, especificamente o estudo de circunferências e triângulos. Para resolver, vamos precisar calcular o inradius (raio da circunferência inscrita) e as coordenadas do incentro (centro da circunferência inscrita).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as medidas dos lados do triângulo usando a fórmula da distância entre dois pontos. A distância entre dois pontos
e
é dada por:
Calculando os lados:
-
: entre e
-
: entre e
Vamos simplificar
:
Então,
-
: entre e
Passo 3
Agora que temos os comprimentos dos lados:
Vamos calcular o semi-perímetro (
) do triângulo:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a área (
) do triângulo. Como temos as coordenadas dos vértices, podemos usar a fórmula da área pelo determinante:
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o inradius (
) usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador, mas para continuar com a fórmula da circunferência, vamos manter
como está.
Passo 6
Para encontrar o incentro
, usamos a fórmula que pondera as coordenadas dos vértices pelos comprimentos dos lados:
Onde
,
, e
.
Substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, temos o raio
e o incentro
. A equação da circunferência é dada por:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A equação da circunferência inscrita no triângulo
é: