Determine uma equação da circunferência:
h) inscrita no triângulo A B C, em que A(0,0), B(4,0) e C(2 raiz3, 2)

Passo 1

Então, a gente tem um triângulo com os vértices em , e . A tarefa é encontrar a equação da circunferência inscrita nesse triângulo. Isso envolve geometria analítica, especificamente o estudo de circunferências e triângulos. Para resolver, vamos precisar calcular o inradius (raio da circunferência inscrita) e as coordenadas do incentro (centro da circunferência inscrita).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as medidas dos lados do triângulo usando a fórmula da distância entre dois pontos. A distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e AB = raiz(4 - 0)^2 + (0 - 0)^2 = raiz16 = 4 é dada por:
BC = raiz(2raiz3 - 4)^2 + (2 - 0)^2 = raiz(2raiz3 - 4)^2 + 4
Calculando os lados:
  • (2raiz3 - 4)^2 = (2raiz3)^2 - 2 times 2raiz3 times 4 + 4^2 = 12 - 16raiz3 + 16 = 28 - 16raiz3 : entre BC = raiz28 - 16raiz3 + 4 = raiz32 - 16raiz3 = raiz16(2 - raiz3) = 4raiz2 - raiz3 e AC = raiz(2raiz3 - 0)^2 + (2 - 0)^2 = raiz12 + 4 = raiz16 = 4
  • : entre e
Vamos simplificar :
Então,
  • : entre e

Passo 3

Agora que temos os comprimentos dos lados:
AB = 4, BC = 4raiz2 - raiz3, AC = 4
Vamos calcular o semi-perímetro ( s = AB + BC + AC2 = 4 + 4raiz2 - raiz3 + 42 = 8 + 4raiz2 - raiz32 = 4 + 2raiz2 - raiz3 ) do triângulo:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a área ( De) do triângulo. Como temos as coordenadas dos vértices, podemos usar a fórmula da área pelo determinante:
De
Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o inradius ( r = De) usando a fórmula:
r = 44 + 2raiz2 - raiz3
Substituindo os valores que encontramos:
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador, mas para continuar com a fórmula da circunferência, vamos manter como está.

Passo 6

Para encontrar o incentro h = a xA + b xB + c xCa + b + c, k = a yA + b yB + c yCa + b + c , usamos a fórmula que pondera as coordenadas dos vértices pelos comprimentos dos lados:
h = 4raiz2 - raiz3 cdot 0 + 4 cdot 4 + 4 cdot 2raiz34 + 4raiz2 - raiz3 + 4 = 0 + 16 + 8raiz38 + 4raiz2 - raiz3
Onde k = 4raiz2 - raiz3 cdot 0 + 4 cdot 0 + 4 cdot 28 + 4raiz2 - raiz3 = 0 + 0 + 88 + 4raiz2 - raiz3 , h = 16 + 8raiz38 + 4raiz2 - raiz3 = 8(2 + raiz3)4(2 + raiz2 - raiz3) = 2(2 + raiz3)2 + raiz2 - raiz3 , e k = 88 + 4raiz2 - raiz3 = 84(2 + raiz2 - raiz3) = 22 + raiz2 - raiz3 .
Substituindo:
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, temos o raio (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 e o incentro (x - 2(2 + raiz3)2 + raiz2 - raiz3)^2 + (y - 22 + raiz2 - raiz3)^2 = (44 + 2raiz2 - raiz3)^2 . A equação da circunferência é dada por:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A equação da circunferência inscrita no triângulo (x - 2(2 + raiz3)2 + raiz2 - raiz3)^2 + (y - 22 + raiz2 - raiz3)^2 = (44 + 2raiz2 - raiz3)^2 é:

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