Determine uma equação da circunferência:
f) tangentes às retas x=-1 e x=1 e que passa por (0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma circunferência que seja tangente às retas e e que passe pelo ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a definição de circunferência e a condição de tangência entre uma circunferência e uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência com centro em (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 e raio é dada por:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que atendam às condições do problema.

Passo 3

Como as retas dadas são e , que são retas verticais, a distância do centro da circunferência a essas retas será igual ao raio da circunferência. A distância de um ponto a uma reta vertical é simplesmente .

Passo 4

Aplicando isso às retas |h - (-1)| = r e |h - 1| = r e |h + 1| = r e |h - 1| = r , temos:
|h + 1| = |h - 1|
Isso simplifica para:
Como ambas as expressões são iguais a , podemos igualá-las:

Passo 5

Para resolver , consideramos dois casos:
  1. → Não tem solução real.
Então, o valor de é 0.

Passo 6

Com |0 + 1| = r Rightarrow r = 1 , podemos encontrar o raio usando uma das equações anteriores:
Agora sabemos que o raio da circunferência é 1.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a coordenada (x - 0)^2 + (y - k)^2 = 1 do centro 0^2 + (0 - k)^2 = 1 Rightarrow k^2 = 1 Rightarrow k = pm 1 . Sabemos que a circunferência passa pelo ponto . Vamos usar a equação da circunferência com e :
Substituindo o ponto :

Resposta

As equações das circunferências são:
x^2 + (y - 1)^2 = 1
e
x^2 + (y + 1)^2 = 1

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