Determine uma equação da circunferência:
f) tangentes às retas
e
e que passa por
f) tangentes às retas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma circunferência que seja tangente às retas
e
e que passe pelo ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a definição de circunferência e a condição de tangência entre uma circunferência e uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência com centro em
e raio
é dada por:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
que atendam às condições do problema.
Passo 3
Como as retas dadas são
e
, que são retas verticais, a distância do centro da circunferência a essas retas será igual ao raio
da circunferência. A distância de um ponto
a uma reta vertical
é simplesmente
.
Passo 4
Aplicando isso às retas
e
, temos:
Isso simplifica para:
Como ambas as expressões são iguais a
, podemos igualá-las:
Passo 5
Para resolver
, consideramos dois casos:
-
→ Não tem solução real. -
→ → →
Então, o valor de
é 0.
Passo 6
Com
, podemos encontrar o raio
usando uma das equações anteriores:
Agora sabemos que o raio da circunferência é 1.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a coordenada
do centro
. Sabemos que a circunferência passa pelo ponto
. Vamos usar a equação da circunferência com
e
:
Substituindo o ponto
:
Resposta
As equações das circunferências são:
e