Determine uma equação da circunferência:
i) circunscrita no triângulo A B C, em que A(0,0), B(4,0) e C(2 raiz3, 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da circunferência que passa pelos três vértices do triângulo ABC, ou seja, a circunferência circunscrita. Os pontos dados são A(0,0), B(4,0) e C(2 raiz3, 2). Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre circunferências e triângulos.

Passo 2

Primeiro, é bom lembrar que a circunferência circunscrita a um triângulo tem seu centro no ponto chamado circuncentro. Esse ponto é onde se encontram as mediatrizes dos lados do triângulo. Então, nosso objetivo é encontrar esse circuncentro e depois calcular o raio da circunferência.

Passo 3

Vamos começar encontrando as mediatrizes de dois lados do triângulo. Vamos escolher os lados AB e AC para isso.

Passo 4

Vamos achar a mediatriz do lado AB. Os pontos A e B têm coordenadas A(0,0) e B(4,0). O ponto médio de AB é:
MAB = ( 0+42, 0+02 ) = (2, 0)
Como AB é um segmento horizontal (pois as coordenadas y são iguais), a mediatriz será uma linha vertical passando pelo ponto médio. Assim, a equação da mediatriz de AB é:
x = 2

Passo 5

Agora, vamos encontrar a mediatriz do lado AC. Os pontos A(0,0) e C(2 raiz3, 2) têm ponto médio:
MAC = ( 0 + 2 raiz32, 0 + 22 ) = ( raiz3, 1 )
Para encontrar a mediatriz, precisamos determinar o coeficiente angular da mediatriz, que é perpendicular ao lado AC. Primeiro, calculamos o coeficiente angular de AC:
mAC = 2 - 02 raiz3 - 0 = 22 raiz3 = 1raiz3
A mediatriz será perpendicular a AC, então seu coeficiente angular será o negativo do inverso de mAC:
mperp = -raiz3
Agora, usamos a equação da reta com ponto médio e coeficiente angular encontrado:
y - 1 = -raiz3(x - raiz3)
Simplificando, temos:
y = -raiz3x + 4

Passo 6

Temos agora duas equações de mediatrizes:
  1. Mediatriz de AB: x = 2
  2. Mediatriz de AC: y = -raiz3x + 4
Para encontrar o circuncentro, resolvemos esse sistema de equações. Substituindo x = 2 na segunda equação:
y = -raiz3(2) + 4 y = -2raiz3 + 4 y = 4 - 2raiz3
Então, o circuncentro é o ponto O(2, 4 - 2raiz3).

Passo 7

Agora que temos o centro da circunferência, precisamos encontrar o raio. Vamos calcular a distância entre o circuncentro O(2, 4 - 2raiz3) e um dos vértices, por exemplo, o ponto A(0,0).
Usamos a fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2):
r = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Aplicando os valores:
r = raiz(2 - 0)^2 + (4 - 2raiz3 - 0)^2 r = raiz4 + (4 - 2raiz3)^2 r = raiz4 + 16 - 16raiz3 + 12 r = raiz32 - 16raiz3
Simplificando, temos:
r = raiz32 - 16raiz3

Resposta

A equação da circunferência circunscrita ao triângulo ABC é:
(x - 2)^2 + (y - (4 - 2raiz3))^2 = 32 - 16raiz3

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