Determine uma equação da circunferência:
i) circunscrita no triângulo
, em que
e
i) circunscrita no triângulo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da circunferência que passa pelos três vértices do triângulo
, ou seja, a circunferência circunscrita. Os pontos dados são
,
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre circunferências e triângulos.
Passo 2
Primeiro, é bom lembrar que a circunferência circunscrita a um triângulo tem seu centro no ponto chamado circuncentro. Esse ponto é onde se encontram as mediatrizes dos lados do triângulo. Então, nosso objetivo é encontrar esse circuncentro e depois calcular o raio da circunferência.
Passo 3
Vamos começar encontrando as mediatrizes de dois lados do triângulo. Vamos escolher os lados
e
para isso.
Passo 4
Vamos achar a mediatriz do lado
. Os pontos
e
têm coordenadas
e
. O ponto médio de
é:
Como
é um segmento horizontal (pois as coordenadas
são iguais), a mediatriz será uma linha vertical passando pelo ponto médio. Assim, a equação da mediatriz de
é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a mediatriz do lado
. Os pontos
e
têm ponto médio:
Para encontrar a mediatriz, precisamos determinar o coeficiente angular da mediatriz, que é perpendicular ao lado
. Primeiro, calculamos o coeficiente angular de
:
A mediatriz será perpendicular a
, então seu coeficiente angular será o negativo do inverso de
:
Agora, usamos a equação da reta com ponto médio e coeficiente angular encontrado:
Simplificando, temos:
Passo 6
Temos agora duas equações de mediatrizes:
- Mediatriz de
: - Mediatriz de
:
Para encontrar o circuncentro, resolvemos esse sistema de equações. Substituindo
na segunda equação:
Então, o circuncentro é o ponto
.
Passo 7
Agora que temos o centro da circunferência, precisamos encontrar o raio. Vamos calcular a distância entre o circuncentro
e um dos vértices, por exemplo, o ponto
.
Usamos a fórmula da distância entre dois pontos
e
:
Aplicando os valores:
Simplificando, temos:
Resposta
A equação da circunferência circunscrita ao triângulo
é: