Determine uma equação da cônica com centro na reta
, eixo focal paralelo ao eixo das abscissas, vértice
e excentricidade
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir a equação de uma cônica que está centrada na reta
. A cônica tem o eixo focal paralelo ao eixo das abscissas (ou seja, ao eixo
), o vértice está no ponto
e a excentricidade é
. Vamos usar conhecimentos sobre elipses para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, como a excentricidade
é menor que 1 (
), sabemos que estamos lidando com uma elipse. A excentricidade mede o quão “esticada” a elipse é, e para elipses, ela sempre é menor que 1.
Passo 3
O centro da elipse está na reta
, então as coordenadas do centro serão
. Mas como o vértice está em
e o eixo focal é paralelo ao eixo
, podemos deduzir que o centro está em
.
Passo 4
Na equação padrão da elipse com o eixo maior ao longo do eixo
, temos:
Onde
é o centro,
é a distância do centro aos vértices, e
é a distância do centro aos co-vértices.
Passo 5
Sabemos que o vértice está em
e o centro está em
. Então, a distância
é:
Passo 6
A excentricidade
é definida como
, onde
é a distância do centro aos focos. Temos
, então:
Passo 7
Agora, para encontrar
, usamos a relação:
Passo 8
Finalmente, substituímos
,
,
e
na equação padrão da elipse:
Resposta
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.
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