Determine uma equação da cônica com centro na reta , eixo focal paralelo ao eixo das abscissas, vértice e excentricidade .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir a equação de uma cônica que está centrada na reta . A cônica tem o eixo focal paralelo ao eixo das abscissas (ou seja, ao eixo ), o vértice está no ponto e a excentricidade é . Vamos usar conhecimentos sobre elipses para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como a excentricidade é menor que 1 ( ), sabemos que estamos lidando com uma elipse. A excentricidade mede o quão “esticada” a elipse é, e para elipses, ela sempre é menor que 1.

Passo 3

O centro da elipse está na reta , então as coordenadas do centro serão . Mas como o vértice está em e o eixo focal é paralelo ao eixo , podemos deduzir que o centro está em .

Passo 4

Na equação padrão da elipse com o eixo maior ao longo do eixo , temos:
Onde é o centro, é a distância do centro aos vértices, e é a distância do centro aos co-vértices.

Passo 5

Sabemos que o vértice está em e o centro está em . Então, a distância é:

Passo 6

A excentricidade é definida como , onde é a distância do centro aos focos. Temos , então:

Passo 7

Agora, para encontrar , usamos a relação:

Passo 8

Finalmente, substituímos , , e na equação padrão da elipse:

Resposta

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