Determine uma equação da cônica com centro na reta r: x-3=0, eixo focal paralelo ao eixo das abscissas, vértice V=(7,0) e excentricidade e=12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir a equação de uma cônica que está centrada na reta . A cônica tem o eixo focal paralelo ao eixo das abscissas (ou seja, ao eixo ), o vértice está no ponto e a excentricidade é . Vamos usar conhecimentos sobre elipses para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como a excentricidade é menor que 1 ( ), sabemos que estamos lidando com uma elipse. A excentricidade mede o quão “esticada” a elipse é, e para elipses, ela sempre é menor que 1.

Passo 3

O centro da elipse está na reta , então as coordenadas do centro serão . Mas como o vértice está em e o eixo focal é paralelo ao eixo , podemos deduzir que o centro está em .

Passo 4

Na equação padrão da elipse com o eixo maior ao longo do eixo (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1 , temos:
Onde é o centro, é a distância do centro aos vértices, e é a distância do centro aos co-vértices.

Passo 5

Sabemos que o vértice está em a = 7 - 3 = 4 e o centro está em . Então, a distância é:

Passo 6

A excentricidade 12 = c4 Rightarrow c = 2 é definida como , onde é a distância do centro aos focos. Temos , então:

Passo 7

Agora, para encontrar b = raiza^2 - c^2 = raiz4^2 - 2^2 = raiz16 - 4 = raiz12 = 2raiz3 , usamos a relação:

Passo 8

Finalmente, substituímos (x - 3)^216 + y^212 = 1 , , e na equação padrão da elipse:

Resposta

(x - 3)^216 + y^212 = 1

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