Toda elipse admite duas cordas focais de comprimento mínimo e cada uma delas é chamada de latus rectum. Determine fórmula para o comprimento de um latus rectum de E: (x-h)^2a^2+ (y-k)^2b^2=1 (com a>b>0).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar a fórmula do comprimento de um latus rectum de uma elipse dada pela equação (x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2=1. Aqui, a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor, com a > b > 0. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de elipse, focos e latus rectum.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma elipse tem dois pontos chamados focos, que estão localizados ao longo do eixo maior. A distância do centro da elipse até cada foco é dada por c, onde c = raiza^2 - b^2.

Passo 3

O latus rectum é uma corda da elipse que passa por um dos focos e é perpendicular ao eixo maior. Como a elipse é simétrica, existem dois latus rectum, um para cada foco, e ambos têm o mesmo comprimento.

Passo 4

Para encontrar o comprimento do latus rectum, vamos considerar um dos focos, por exemplo, o foco direito localizado em (h + c, k). A direção perpendicular ao eixo maior é vertical, pois o eixo maior está na direção horizontal.

Passo 5

A equação da elipse centrada em (h, k) é (x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2=1. Queremos encontrar os pontos onde o latus rectum intercepta a elipse, ou seja, onde x = h + c.

Passo 6

Substituindo x = h + c na equação da elipse, temos:
(h + c - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1 c^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1

Passo 7

Subtraindo c^2a^2 de ambos os lados:
(y - k)^2b^2 = 1 - c^2a^2 (y - k)^2b^2 = a^2 - c^2a^2

Passo 8

Lembrando que c^2 = a^2 - b^2, substituímos:
(y - k)^2b^2 = a^2 - (a^2 - b^2)a^2 (y - k)^2b^2 = b^2a^2

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por b^2:
(y - k)^2 = b^4a^2

Passo 10

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
y - k = pm b^2a
Portanto, os pontos onde o latus rectum intercepta a elipse são (h + c, k + b^2a) e (h + c, k - b^2a).

Passo 11

O comprimento do latus rectum é a distância entre esses dois pontos. Como a única diferença está na coordenada y, basta calcular a diferença entre as duas coordenadas y:
(k + b^2a) - (k - b^2a) = 2b^2a

Resposta

O comprimento do latus rectum da elipse é boxed2b^2a.

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