Toda elipse admite duas cordas focais de comprimento mínimo e cada uma delas é chamada de latus rectum. Determine fórmula para o comprimento de um latus rectum de
(com
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar a fórmula do comprimento de um latus rectum de uma elipse dada pela equação
. Aqui,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor, com
. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de elipse, focos e latus rectum.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma elipse tem dois pontos chamados focos, que estão localizados ao longo do eixo maior. A distância do centro da elipse até cada foco é dada por
, onde
.
Passo 3
O latus rectum é uma corda da elipse que passa por um dos focos e é perpendicular ao eixo maior. Como a elipse é simétrica, existem dois latus rectum, um para cada foco, e ambos têm o mesmo comprimento.
Passo 4
Para encontrar o comprimento do latus rectum, vamos considerar um dos focos, por exemplo, o foco direito localizado em
. A direção perpendicular ao eixo maior é vertical, pois o eixo maior está na direção horizontal.
Passo 5
A equação da elipse centrada em
é
. Queremos encontrar os pontos onde o latus rectum intercepta a elipse, ou seja, onde
.
Passo 6
Substituindo
na equação da elipse, temos:
Passo 7
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos:
Passo 9
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 10
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Portanto, os pontos onde o latus rectum intercepta a elipse são
e
.
Passo 11
O comprimento do latus rectum é a distância entre esses dois pontos. Como a única diferença está na coordenada
, basta calcular a diferença entre as duas coordenadas
:
Resposta
O comprimento do latus rectum da elipse é
.