Suponhamos que U e V são subespaços distintos de dimensão 4 de um espaço vetorial de dimensão 6. Encontre as dimensões possíveis de U cap V.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços, e , que são diferentes e cada um tem dimensão 4. Esses subespaços estão dentro de um espaço vetorial de dimensão 6. A pergunta é: quais são as possíveis dimensões da interseção ?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de teoria de espaços vetoriais, especificamente a fórmula que relaciona as dimensões de dois subespaços e a sua interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da dimensão da soma de subespaços. Para dois subespaços dim(U + V) = dim U + dim V - dim(U cap V) e de um espaço vetorial, temos:
Aqui, representa a dimensão da soma dos subespaços e , que é o menor subespaço que contém ambos.

Passo 3

Sabemos que o espaço vetorial onde dim(U + V) <= 6 e estão inseridos tem dimensão 6. Portanto, a soma dos subespaços também será um subespaço desse espaço, e sua dimensão não pode exceder 6. Então:

Passo 4

Substituindo os valores que conhecemos na fórmula da dimensão:
dim(U + V) = dim U + dim V - dim(U cap V) = 4 + 4 - dim(U cap V) = 8 - dim(U cap V)

Passo 5

Como 8 - dim(U cap V) <= 6 , temos:
- dim(U cap V) <= -2 implies dim(U cap V) >= 2
Resolvendo para :

Passo 6

Além disso, sabemos que a dimensão da interseção dim(U cap V) <= 4 não pode ser maior do que a dimensão de qualquer um dos subespaços. Já que , então:

Passo 7

Combinando as duas desigualdades que encontramos:
2 <= dim(U cap V) <= 4
Portanto, as possíveis dimensões da interseção são 2, 3 ou 4.

Resposta

As dimensões possíveis de são 2, 3 ou 4.

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