Suponhamos que
e
são subespaços distintos de dimensão 4 de um espaço vetorial de dimensão 6. Encontre as dimensões possíveis de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços,
e
, que são diferentes e cada um tem dimensão 4. Esses subespaços estão dentro de um espaço vetorial de dimensão 6. A pergunta é: quais são as possíveis dimensões da interseção
?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de teoria de espaços vetoriais, especificamente a fórmula que relaciona as dimensões de dois subespaços e a sua interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da dimensão da soma de subespaços. Para dois subespaços
e
de um espaço vetorial, temos:
Aqui,
representa a dimensão da soma dos subespaços
e
, que é o menor subespaço que contém ambos.
Passo 3
Sabemos que o espaço vetorial onde
e
estão inseridos tem dimensão 6. Portanto, a soma dos subespaços
também será um subespaço desse espaço, e sua dimensão não pode exceder 6. Então:
Passo 4
Substituindo os valores que conhecemos na fórmula da dimensão:
Passo 5
Como
, temos:
Resolvendo para
:
Passo 6
Além disso, sabemos que a dimensão da interseção
não pode ser maior do que a dimensão de qualquer um dos subespaços. Já que
, então:
Passo 7
Combinando as duas desigualdades que encontramos:
Portanto, as possíveis dimensões da interseção
são 2, 3 ou 4.
Resposta
As dimensões possíveis de
são 2, 3 ou 4.
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.
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e
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