Sabemos que a circunferência de centro C e raio r>0 é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam r de C. Se C=(h, k) e r>0, determine equação para a circunferência de centro C e raio r. Determine condições para que A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0 seja equação de uma circunferência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre circunferências! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma circunferência que tem um centro e raio . Além disso, também vamos descobrir quais condições devem ser satisfeitas para que uma equação geral da forma represente uma circunferência. Para isso, vamos precisar usar a fórmula padrão da circunferência e entender como ela se relaciona com a equação geral.

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação da circunferência com centro em raiz(x - h)^2 + (y - k)^2 = r e raio . A definição de circunferência diz que é o conjunto de todos os pontos que estão a uma distância do centro .
A distância entre dois pontos e é dada pela fórmula:

Passo 3

Vamos eliminar a raiz quadrada para facilitar a equação. Elevamos ambos os lados ao quadrado:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Essa é a forma padrão da equação da circunferência com centro em e raio .

Passo 4

Agora, vamos relacionar essa equação com a equação geral dada na questão:
A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0
Para que a equação da circunferência se encaixe nessa forma geral, precisamos expandir a equação padrão e comparar os coeficientes.
Expande-se a equação padrão:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
x^2 - 2h x + h^2 + y^2 - 2k y + k^2 = r^2
Rearranjando os termos:
x^2 + y^2 - 2h x - 2k y + (h^2 + k^2 - r^2) = 0
Comparando com a equação geral , vemos que:
  • (porque não há termo )

Resposta

A equação da circunferência de centro (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 e raio é:
Para que a equação geral represente uma circunferência, devem ser satisfeitas as seguintes condições:
  1. (não há termo )
  2. (os coeficientes de e são iguais e diferentes de zero)
Essas condições garantem que a equação geral seja a equação de uma circunferência.

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