Sabemos que a circunferência de centro
e raio
é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam
de
. Se
e
, determine equação para a circunferência de centro
e raio
. Determine condições para que
seja equação de uma circunferência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre circunferências! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma circunferência que tem um centro
e raio
. Além disso, também vamos descobrir quais condições devem ser satisfeitas para que uma equação geral da forma
represente uma circunferência. Para isso, vamos precisar usar a fórmula padrão da circunferência e entender como ela se relaciona com a equação geral.
Passo 2
Vamos começar encontrando a equação da circunferência com centro em
e raio
. A definição de circunferência diz que é o conjunto de todos os pontos
que estão a uma distância
do centro
.
A distância entre dois pontos
e
é dada pela fórmula:
Passo 3
Vamos eliminar a raiz quadrada para facilitar a equação. Elevamos ambos os lados ao quadrado:
Essa é a forma padrão da equação da circunferência com centro em
e raio
.
Passo 4
Agora, vamos relacionar essa equação com a equação geral dada na questão:
Para que a equação da circunferência se encaixe nessa forma geral, precisamos expandir a equação padrão e comparar os coeficientes.
Expande-se a equação padrão:
Rearranjando os termos:
Comparando com a equação geral
, vemos que:
-
-
(porque não há termo ) -
-
-
-
Resposta
A equação da circunferência de centro
e raio
é:
Para que a equação geral
represente uma circunferência, devem ser satisfeitas as seguintes condições:
-
(não há termo ) -
(os coeficientes de e são iguais e diferentes de zero)
Essas condições garantem que a equação geral seja a equação de uma circunferência.