Um ponto se desloca no plano de modo que a soma das distâncias aos pontos e é 10. Diga qual curva é descrita por e em seguida determina equação para essa curva.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto que se move no plano de tal forma que a soma das suas distâncias aos pontos fixos e é igual a 10. Precisamos descobrir qual é a curva que traça e, em seguida, encontrar a equação dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de curva é essa. Quando um ponto se move de maneira que a soma das suas distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante, a curva formada é uma elipse. Então, já sabemos que a curva descrita por é uma elipse.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação dessa elipse. Para isso, precisamos determinar alguns parâmetros importantes da elipse:
  • Focos: Já temos os pontos e .
  • Soma das distâncias: É igual a 10, o que corresponde a , então , onde é o semi-eixo maior da elipse.
  • Distância entre os focos: Calculamos a distância entre e usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Isso significa que , então , onde é a distância do centro aos focos.

Passo 4

Com e determinados, podemos encontrar , que é o semi-eixo menor, usando a relação:
Substituindo os valores:

Passo 5

O próximo passo é determinar o centro da elipse, que é o ponto médio entre os focos e . Usamos a fórmula do ponto médio:

Passo 6

Com todos os parâmetros conhecidos ( , , , ), podemos escrever a equação padrão da elipse:
Substituindo os valores:

Resposta

A curva descrita por é uma elipse, e a equação dessa elipse é:

Exercícios relacionados

Toda elipse admite duas cordas focais de comprimento mínimo e cada uma delas é chamada de latus rectum. Determine fórmula para o comprimento de um latus rectum de (com .
Considere as matrizes e com respectivas ordens: e . Determine quais das seguintes expressões matriciais são possíveis e determine a respectiva ordem.
(d) .
Determine uma equação da cônica com centro na reta , eixo focal paralelo ao eixo das abscissas, vértice e excentricidade .
Suponhamos que e são subespaços distintos de dimensão 4 de um espaço vetorial de dimensão 6. Encontre as dimensões possíveis de .