Um ponto P=(x, y) se desloca no plano de modo que a soma das distâncias aos pontos A=(3,1) e B=(-5,1) é 10. Diga qual curva é descrita por P e em seguida determina equação para essa curva.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto que se move no plano de tal forma que a soma das suas distâncias aos pontos fixos e é igual a 10. Precisamos descobrir qual é a curva que traça e, em seguida, encontrar a equação dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de curva é essa. Quando um ponto se move de maneira que a soma das suas distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante, a curva formada é uma elipse. Então, já sabemos que a curva descrita por é uma elipse.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação dessa elipse. Para isso, precisamos determinar alguns parâmetros importantes da elipse:
  • Focos: Já temos os pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 = raiz(-5 - 3)^2 + (1 - 1)^2 = raiz(-8)^2 = 8 e .
  • Soma das distâncias: É igual a 10, o que corresponde a , então , onde é o semi-eixo maior da elipse.
  • Distância entre os focos: Calculamos a distância entre e usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Isso significa que , então , onde é a distância do centro aos focos.

Passo 4

Com b^2 = a^2 - c^2 e b^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 Rightarrow b = 3 determinados, podemos encontrar , que é o semi-eixo menor, usando a relação:
Substituindo os valores:

Passo 5

O próximo passo é determinar o centro da elipse, que é o ponto médio entre os focos Centro (h, k) = ( xA + xB2, yA + yB2 ) = ( 3 + (-5)2, 1 + 12 ) = (-1, 1) e . Usamos a fórmula do ponto médio:

Passo 6

Com todos os parâmetros conhecidos ( (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1 , (x + 1)^225 + (y - 1)^29 = 1 , , ), podemos escrever a equação padrão da elipse:
Substituindo os valores:

Resposta

A curva descrita por (x + 1)^225 + (y - 1)^29 = 1 é uma elipse, e a equação dessa elipse é:

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