Um ponto
se desloca no plano de modo que a soma das distâncias aos pontos
e
é 10. Diga qual curva é descrita por
e em seguida determina equação para essa curva.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto
que se move no plano de tal forma que a soma das suas distâncias aos pontos fixos
e
é igual a 10. Precisamos descobrir qual é a curva que
traça e, em seguida, encontrar a equação dessa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de curva é essa. Quando um ponto se move de maneira que a soma das suas distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante, a curva formada é uma elipse. Então, já sabemos que a curva descrita por
é uma elipse.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação dessa elipse. Para isso, precisamos determinar alguns parâmetros importantes da elipse:
- Focos: Já temos os pontos
e . - Soma das distâncias: É igual a 10, o que corresponde a
, então , onde é o semi-eixo maior da elipse. - Distância entre os focos: Calculamos a distância entre
e usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Isso significa que
, então
, onde
é a distância do centro aos focos.
Passo 4
Com
e
determinados, podemos encontrar
, que é o semi-eixo menor, usando a relação:
Substituindo os valores:
Passo 5
O próximo passo é determinar o centro da elipse, que é o ponto médio entre os focos
e
. Usamos a fórmula do ponto médio:
Passo 6
Com todos os parâmetros conhecidos (
,
,
,
), podemos escrever a equação padrão da elipse:
Substituindo os valores:
Resposta
A curva descrita por
é uma elipse, e a equação dessa elipse é:
Exercícios relacionados
Toda elipse admite duas cordas focais de comprimento mínimo e cada uma delas é chamada de latus rectum. Determine fórmula para o comprimento de um latus rectum de
(com
.
Considere as matrizes
e
com respectivas ordens:
e
. Determine quais das seguintes expressões matriciais são possíveis e determine a respectiva ordem.
(d) .
(d)
Determine uma equação da cônica com centro na reta
, eixo focal paralelo ao eixo das abscissas, vértice
e excentricidade
.
Suponhamos que
e
são subespaços distintos de dimensão 4 de um espaço vetorial de dimensão 6. Encontre as dimensões possíveis de
.