Determine a solução geral de cada equação diferencial:
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aí. A equação é:
O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais exatas. Precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
Para verificar se a equação é exata, a gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se são iguais.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, calculamos
:
Observamos que
não é igual a
, então a equação não é exata inicialmente.
Passo 4
Mas calma, nem tudo está perdido! Podemos procurar um fator integrante que torna a equação exata. Suponha que o fator íntegro seja uma função só de
, ou só de
. Vamos tentar achar esse fator.
Após algumas tentativas, encontramos que multiplicando a equação por
, a equação se torna exata.
Passo 5
Multiplicando a equação original por
, temos:
Agora, as derivadas parciais são iguais, confirmando que a equação é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, a integral se simplifica e obtemos:
Onde
é uma função de
apenas.
Passo 7
Aplicando a condição de exatidão, diferenciando
em relação a
e igualando a
, encontramos que
é constante. Portanto, a solução geral da equação é:
onde
é a constante de integração.
Resposta
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Determine a solução geral de cada equação diferencial:
. Resp:
Determine a equação diferencial ordinária associada a cada solução geral abaixo:
Resp:
Determine a função
que satisfaça as condições dadas:
e
. Resp:
Determine a equação de uma curva que passa pelo ponto (
) de tal modo que o coeficiente angular da reta tangente em cada ponto seja igual a ordenada correspondente deste ponto aumentada de 3. Resp.:
.