Determine a solução geral de cada equação diferencial:
3 e^x tg(y) dx + (1 - e^x) sec^2(y) dy = 0 Resp: (1-e^x)^3 = C * tg(y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aí. A equação é:
O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais exatas. Precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação:
Para verificar se a equação é exata, a gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se são iguais.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, calculamos :
Observamos que não é igual a , então a equação não é exata inicialmente.

Passo 4

Mas calma, nem tudo está perdido! Podemos procurar um fator integrante que torna a equação exata. Suponha que o fator íntegro seja uma função só de , ou só de . Vamos tentar achar esse fator.
Após algumas tentativas, encontramos que multiplicando a equação por , a equação se torna exata.

Passo 5

Multiplicando a equação original por , temos:
Agora, as derivadas parciais são iguais, confirmando que a equação é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Fazendo a substituição , , a integral se simplifica e obtemos:
Onde é uma função de apenas.

Passo 7

Aplicando a condição de exatidão, diferenciando em relação a e igualando a , encontramos que é constante. Portanto, a solução geral da equação é:
onde é a constante de integração.

Resposta

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