Mostre que a função satisfaz a equação da onda:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função satisfaz a equação da onda:
Aqui, estamos trabalhando com o tecnologia das derivadas parciais e a equação da onda, que descreve como ondas, como as sonoras ou luz, se propagam no espaço e no tempo. Vamos precisar calcular as segundas derivadas de em relação a e e verificar se elas se relacionam conforme a equação da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de em relação ao tempo . A função é .
A derivada de em relação a é . Derivando de novo, temos:
Então, a segunda derivada temporal é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação ao espaço . A função continua sendo .
A derivada de em relação a é . Derivando de novo, temos:
Então, a segunda derivada espacial é .

Passo 4

Agora, vamos colocar essas derivadas na equação da onda para ver se ela é satisfeita. A equação da onda é:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando ambos os lados:
Ou seja:

Passo 5

Para que a equação seja verdadeira, precisamos que:
Isso implica que:
Então, se essa condição for satisfeita, a função realmente satisfaz a equação da onda.

Resposta

Portanto, mostramos que a função satisfaz a equação da onda desde que .

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