Mostre que a função
satisfaz a equação da onda:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função
satisfaz a equação da onda:
Aqui, estamos trabalhando com o tecnologia das derivadas parciais e a equação da onda, que descreve como ondas, como as sonoras ou luz, se propagam no espaço e no tempo. Vamos precisar calcular as segundas derivadas de
em relação a
e
e verificar se elas se relacionam conforme a equação da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao tempo
. A função é
.
A derivada de
em relação a
é
. Derivando de novo, temos:
Então, a segunda derivada temporal é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao espaço
. A função continua sendo
.
A derivada de
em relação a
é
. Derivando de novo, temos:
Então, a segunda derivada espacial é
.
Passo 4
Agora, vamos colocar essas derivadas na equação da onda para ver se ela é satisfeita. A equação da onda é:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando ambos os lados:
Ou seja:
Passo 5
Para que a equação seja verdadeira, precisamos que:
Isso implica que:
Então, se essa condição for satisfeita, a função
realmente satisfaz a equação da onda.
Resposta
Portanto, mostramos que a função
satisfaz a equação da onda
desde que
.