Mostre que a função z=sen(omega c t) sen(omega x) satisfaz a equação da onda:
partial^2 zpartial t^2=c^2 partial^2 zpartial x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função partial^2 zpartial t^2 = c^2 partial^2 zpartial x^2 satisfaz a equação da onda:
Aqui, estamos trabalhando com o tecnologia das derivadas parciais e a equação da onda, que descreve como ondas, como as sonoras ou luz, se propagam no espaço e no tempo. Vamos precisar calcular as segundas derivadas de em relação a e e verificar se elas se relacionam conforme a equação da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de partial^2 zpartial t^2 = -omegac^2 sin(omegac t) sin(omega x) em relação ao tempo . A função é .
A derivada de em relação a é . Derivando de novo, temos:
Então, a segunda derivada temporal é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial^2 zpartial x^2 = -omega^2 sin(omegac t) sin(omega x) em relação ao espaço . A função continua sendo .
A derivada de em relação a é . Derivando de novo, temos:
Então, a segunda derivada espacial é .

Passo 4

Agora, vamos colocar essas derivadas na equação da onda para ver se ela é satisfeita. A equação da onda é:
partial^2 zpartial t^2 = c^2 partial^2 zpartial x^2
Substituindo as derivadas que calculamos:
-omegac^2 sin(omegac t) sin(omega x) = c^2 (-omega^2 sin(omegac t) sin(omega x))
Simplificando ambos os lados:
-omegac^2 = -c^2 omega^2
Ou seja:
omegac^2 = c^2 omega^2

Passo 5

Para que a equação seja verdadeira, precisamos que:
omegac^2 = c^2 omega^2
Isso implica que:
omegac = c omega
Então, se essa condição for satisfeita, a função realmente satisfaz a equação da onda.

Resposta

Portanto, mostramos que a função satisfaz a equação da onda desde que .

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