Determine a equação que deve ser resolvida para que se encontre o intervalo de estabilidade dos pontos fixos encontrados no item anterior. DICA: Infelizmente esta equação não possui solução analítica, mas ela poderia ser resolvida numericamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para encontrar a equação que precisamos resolver para descobrir o intervalo de estabilidade dos pontos fixos que já encontramos antes. Estamos lidando aqui com sistemas dinâmicos, onde analisamos o comportamento de pontos fixos para ver se eles são estáveis ou não. Para isso, vamos precisar entender como pequenas variações ao redor desses pontos afetam o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto fixo. Em um sistema dinâmico, um ponto fixo é um valor que satisfaz , onde é a função que define o sistema. A estabilidade desse ponto fixo depende de como o sistema se comporta quando fazemos pequenas perturbações ao redor dele.

Passo 3

Para determinar a estabilidade, analisamos a derivada da função avaliada no ponto fixo , ou seja, . A regra geral é:
  • Se , o ponto fixo é estável.
  • Se , o ponto fixo é instável.
  • Se , a estabilidade é indeterminada e precisamos de uma análise mais aprofundada.

Passo 4

Agora, para encontrar o intervalo de estabilidade, queremos saber para quais valores de parâmetros do sistema a condição é satisfeita. Isso implica que precisamos resolver a equação para determinar os limites desse intervalo. Infelizmente, essa equação geralmente não pode ser resolvida de forma analítica, ou seja, não conseguimos uma solução exata usando apenas fórmulas matemáticas. Por isso, precisamos usar métodos numéricos, como iteração ou algoritmos de aproximação, para encontrar as soluções.

Resposta

A equação que deve ser resolvida para encontrar o intervalo de estabilidade dos pontos fixos é:

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