Encontre os pontos fixos de
x_{j+1}=x_{j} e^{\mu(1-x_{j})}
Determine para quais valores de mu cada ponto é assintoticamente estável. Explique a abordagem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação e precisamos encontrar os pontos fixos dessa função. Além disso, vamos descobrir para quais valores de cada ponto fixo é assintoticamente estável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos fixos e estabilidade em sistemas dinâmicos, além de usar um pouco de cálculo.

Passo 2

Primeiro, pontos fixos são valores de que não mudam quando aplicamos a função. Ou seja, se é um ponto fixo, então . Vamos então resolver a equação para encontrar esses pontos:

Passo 3

Para resolver essa equação, podemos dividir ambos os lados por (assumindo que ):
Agora, sabemos que , então:
Isso nos dá duas possibilidades:
Além disso, não podemos esquecer de verificar se também é um ponto fixo. Substituindo na equação original:
Então, também é um ponto fixo para qualquer valor de .

Passo 4

Então, resumindo, os pontos fixos são:
Agora, vamos verificar a estabilidade de cada ponto fixo. Um ponto fixo é assintoticamente estável se, ao arredor dele, as iteradas da função convergem para o ponto fixo.
Para isso, usamos a derivada da função . Se no ponto fixo , o valor absoluto da derivada , então o ponto é assintoticamente estável.
Primeiro, calculemos a derivada de :
Agora, avaliamos em cada ponto fixo.
Para :
Queremos :
Como para todo , a condição se torna , o que ocorre quando .
Para :
Queremos :
Isso resulta em:

Resposta

Os pontos fixos são e .
  • é assintoticamente estável para .
  • é assintoticamente estável para .

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