Encontre os pontos fixos de
Determine para quais valores de
cada ponto é assintoticamente estável. Explique a abordagem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação
e precisamos encontrar os pontos fixos dessa função. Além disso, vamos descobrir para quais valores de
cada ponto fixo é assintoticamente estável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos fixos e estabilidade em sistemas dinâmicos, além de usar um pouco de cálculo.
Passo 2
Primeiro, pontos fixos são valores de
que não mudam quando aplicamos a função. Ou seja, se
é um ponto fixo, então
. Vamos então resolver a equação para encontrar esses pontos:
Passo 3
Para resolver essa equação, podemos dividir ambos os lados por
(assumindo que
):
Agora, sabemos que
, então:
Isso nos dá duas possibilidades:
Além disso, não podemos esquecer de verificar se
também é um ponto fixo. Substituindo
na equação original:
Então,
também é um ponto fixo para qualquer valor de
.
Passo 4
Então, resumindo, os pontos fixos são:
Agora, vamos verificar a estabilidade de cada ponto fixo. Um ponto fixo é assintoticamente estável se, ao arredor dele, as iteradas da função convergem para o ponto fixo.
Para isso, usamos a derivada da função
. Se no ponto fixo
, o valor absoluto da derivada
, então o ponto é assintoticamente estável.
Primeiro, calculemos a derivada de
:
Agora, avaliamos
em cada ponto fixo.
Para
:
Queremos
:
Como
para todo
, a condição se torna
, o que ocorre quando
.
Para
:
Queremos
:
Isso resulta em:
Resposta
Os pontos fixos são
e
.
-
é assintoticamente estável para . -
é assintoticamente estável para .