Encontre a equação que deve ser resolvida para que se encontre os pontos fixos de primeira ordem. DICA: Infelizmente esta equação não possui solução analítica, mas ela poderia ser resolvida numericamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a equação que precisamos resolver para descobrir os pontos fixos de primeira ordem. A matéria em questão aqui é Análise de Pontos Fixos, que faz parte do estudo de funções e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos fixos e como identificá-los em uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto fixo. Imagine que você tem uma função
. Um ponto fixo dessa função é um valor de
que, quando você aplica a função, o resultado é o próprio
. Em outras palavras, se
é um ponto fixo, então:
Passo 3
Agora, para encontrar esses pontos fixos, precisamos montar uma equação onde a saída da função seja igual à entrada. Isso significa que queremos resolver para
na seguinte equação:
Passo 4
Rearranjando essa equação para facilitar a resolução, podemos trazer todos os termos para um lado:
Essa é a equação que precisamos resolver para encontrar os pontos fixos. No entanto, a dica da questão nos informa que, infelizmente, essa equação não pode ser resolvida de forma analítica, ou seja, não conseguimos encontrar uma solução exata usando apenas álgebra. Mas não se preocupe! Podemos resolver essa equação numericamente utilizando métodos como a iteração de ponto fixo ou o método de Newton-Raphson.
Resposta
A equação a ser resolvida para encontrar os pontos fixos de primeira ordem é:
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Para um mesmo valor de
, o comportamento dinâmico calculado numericamente pode variar radicalmente, alterando-se o valor do passo de integração
.
Discuta os possíveis comportamentos, como função de , no que se refere à estabilidade das soluções, dobramentos de período e regime caótico. Indique os valores de
onde estes comportamentos são observados.
Discuta os possíveis comportamentos, como função de
Mostre que os pontos que formam o ciclo de período-2, que nasce em
, satisfazem a equação:
Explique por que esse polinômio deve ter, como raízes, os pontos fixos já calculados. Isso permite reescrevê-lo como:
Mosre que
.
Encontre os pontos fixos de
Determine para quais valores de
cada ponto é assintoticamente estável. Explique a abordagem.
Determine a equação que deve ser resolvida para que se encontre o intervalo de estabilidade dos pontos fixos encontrados no item anterior. DICA: Infelizmente esta equação não possui solução analítica, mas ela poderia ser resolvida numericamente.