Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a solução de um problema de valor inicial, que envolve uma equação diferencial. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a manipulação. Temos:
Vamos isolar :

Passo 3

Agora, observamos que a equação está na forma separável, ou seja, podemos separar as variáveis e . Vamos multiplicar ambos os lados por e por :

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos integrar o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :

Passo 5

Vamos resolver as integrais. A integral do lado esquerdo é simples:
Para a integral do lado direito, usamos integração por partes, onde escolhemos e . Então, e . Aplicando a fórmula:
Então, substituindo de volta:
Simplificando:
Multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial dada, que é . Substituindo e na equação:
Simplificando:

Passo 7

Substituímos o valor de na equação geral:
Podemos fatorar da seguinte maneira:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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