Resolva a equação diferencial dada. a y^2 + b - x^2 y y' = 0 para a, b in R, a != 0

Passo 1

Vamos resumir o que foi pedido: temos uma equação diferencial do tipo , onde e são números reais com . Nosso objetivo é resolver essa equação utilizando conceitos de equações diferenciais, como métodos de substituição e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . A equação dada é:
Vamos mover o termo que contém para o outro lado:
Agora, isolamos :

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para :

Passo 4

A equação agora está na forma:
Podemos tentar uma substituição para simplificar a equação.

Passo 5

Vamos fazer a substituição . Derivando ambos os lados em relação a :
Isolando :

Passo 6

Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Rearranjando os termos:
Isolando :

Passo 8

Agora, temos uma equação diferencial linear para :
Identificamos os coeficientes:

Passo 9

Calculamos o fator integrante :

Passo 10

Multiplicamos toda a equação por :
Isso nos permite escrever o lado esquerdo como a derivada de :

Passo 11

Integramos ambos os lados:
Para resolver a integral, fazemos a substituição , então .

Passo 12

Com a substituição, a integral fica:

Passo 13

Substituindo de volta na equação:
Isolando :
Lembrando que :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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