Resolva a equação diferencial dada.
para
Passo 1
Vamos resumir o que foi pedido: temos uma equação diferencial do tipo
, onde
e
são números reais com
. Nosso objetivo é resolver essa equação utilizando conceitos de equações diferenciais, como métodos de substituição e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. A equação dada é:
Vamos mover o termo que contém
para o outro lado:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão para
:
Passo 4
A equação agora está na forma:
Podemos tentar uma substituição para simplificar a equação.
Passo 5
Vamos fazer a substituição
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Isolando
:
Passo 6
Substituindo
na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Rearranjando os termos:
Isolando
:
Passo 8
Agora, temos uma equação diferencial linear para
:
Identificamos os coeficientes:
Passo 9
Calculamos o fator integrante
:
Passo 10
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso nos permite escrever o lado esquerdo como a derivada de
:
Passo 11
Integramos ambos os lados:
Para resolver a integral, fazemos a substituição
, então
.
Passo 12
Com a substituição, a integral fica:
Passo 13
Substituindo de volta na equação:
Isolando
:
Lembrando que
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.