Determine se a equação diferencial é Exata e, se for, resolva-a: x dy/dx = x e^x - y + 6 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial e quer saber se ela é exata. Se for, a gente resolve, certo? Então, o conteúdo aqui é equações diferenciais exatas. Pra resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação diferencial exata e aplicar isso na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação que você deu para ficar no formato mais familiar para a gente trabalhar. A equação é:
A gente pode rearrumar para deixar tudo de um lado igual a zero:

Passo 3

Agora, pra verificar se a equação é exata, precisamos escrevê-la na forma padrão de uma equação diferencial exata, que é:
Nossa equação atual não está exatamente nessa forma, então vamos manipular um pouco mais. Vamos dividir todos os termos por pra facilitar:
Agora, subtraímos de ambos os lados:
Agora, identificamos:

Passo 4

Pra uma equação ser exata, ela precisa satisfazer a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, :
Agora, :
Como , a condição não é satisfeita. Então, a equação não é exata.

Passo 5

Como a equação não é exata, podemos tentar tornar ela exata usando um fator integrante. Geralmente, usamos um fator que depende só de ou de . Vamos tentar um fator que depende só de .
A condição para o fator integrante é:
Já que , temos:
Resolvendo essa equação diferencial:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher para simplificar, então:

Passo 6

Multiplicando toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como:
Agora, a equação está na forma exata , onde:

Passo 7

Agora que a equação é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Integral de em relação a :
Integral de em relação a :
Usamos integração por partes:
Então:
Integral de em relação a :
Então, juntando tudo:
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Então:
Integrando:

Passo 8

Então, a função que satisfaz a equação é:
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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