Determine se a equação diferencial é Exata e, se for, resolva-a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial e quer saber se ela é exata. Se for, a gente resolve, certo? Então, o conteúdo aqui é equações diferenciais exatas. Pra resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação diferencial exata e aplicar isso na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação que você deu para ficar no formato mais familiar para a gente trabalhar. A equação é:
A gente pode rearrumar para deixar tudo de um lado igual a zero:
Passo 3
Agora, pra verificar se a equação é exata, precisamos escrevê-la na forma padrão de uma equação diferencial exata, que é:
Nossa equação atual não está exatamente nessa forma, então vamos manipular um pouco mais. Vamos dividir todos os termos por
pra facilitar:
Agora, subtraímos
de ambos os lados:
Agora, identificamos:
Passo 4
Pra uma equação ser exata, ela precisa satisfazer a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro,
:
Agora,
:
Como
, a condição não é satisfeita. Então, a equação não é exata.
Passo 5
Como a equação não é exata, podemos tentar tornar ela exata usando um fator integrante. Geralmente, usamos um fator que depende só de
ou de
. Vamos tentar um fator que depende só de
.
A condição para o fator integrante
é:
Já que
, temos:
Resolvendo essa equação diferencial:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 6
Multiplicando toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como:
Agora, a equação está na forma exata
, onde:
Passo 7
Agora que a equação é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Integral de
em relação a
:
Integral de
em relação a
:
Usamos integração por partes:
Então:
Integral de
em relação a
:
Então, juntando tudo:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
Integrando:
Passo 8
Então, a função
que satisfaz a equação é:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.