Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional no ponto P0 na direção do vetor u, nos seguintes casos:
f(x, y) = raiz(4 - x^2 - y^2)
P0 = (1,1), u = (1,3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas direcionais e gradientes.

Passo 2

A derivada direcional nos informa a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função no ponto e do vetor direção .

Passo 3

Vamos começar calculando o gradiente de . O gradiente é um vetor composto pelas derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Para :
Aplicando a regra da cadeia:
Para :
De maneira semelhante:

Passo 5

Assim, o gradiente de é:

Passo 6

Vamos calcular o gradiente no ponto :

Passo 7

Agora, precisamos normalizar o vetor direção . A normalização é importante para que o vetor direção tenha comprimento 1, facilitando o cálculo da derivada direcional. A norma de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 8

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente de em com o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

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