Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional no ponto
na direção do vetor
, nos seguintes casos:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas direcionais e gradientes.
Passo 2
A derivada direcional nos informa a taxa de variação da função
em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função no ponto
e do vetor direção
.
Passo 3
Vamos começar calculando o gradiente de
. O gradiente é um vetor composto pelas derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Para
:
Aplicando a regra da cadeia:
Para
:
De maneira semelhante:
Passo 5
Assim, o gradiente de
é:
Passo 6
Vamos calcular o gradiente no ponto
:
Passo 7
Agora, precisamos normalizar o vetor direção
. A normalização é importante para que o vetor direção tenha comprimento 1, facilitando o cálculo da derivada direcional. A norma de
é:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 8
A derivada direcional
é o produto escalar do gradiente de
em
com o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é
.