Determine se a equação diferencial é linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me perguntou para determinar se uma equação diferencial é linear. Antes de mais nada, precisamos entender o que é uma equação diferencial linear. Vamos precisar saber sobre equações diferenciais e o conceito de linearidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, uma equação diferencial envolve derivadas de uma função desconhecida. Por exemplo, pode ser algo como , onde é a função que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, para verificar se essa equação é linear, precisamos ver se ela pode ser escrita na forma geral:
Aqui, os coeficientes são funções de e também é uma função conhecida.

Passo 4

Uma equação diferencial é linear se:
  1. A função desconhecida e todas as suas derivadas aparecem apenas na primeira potência (não estão elevadas ao quadrado, cúbica, etc.).
  2. Não há produtos entre e suas derivadas.
  3. Os coeficientes dependem apenas de , não de ou suas derivadas.

Passo 5

Vamos colocar isso em prática. Suponha que você tenha uma equação como:
Aqui:
  • (coeficiente da segunda derivada),
  • (coeficiente da primeira derivada),
  • (coeficiente de ),
  • .

Passo 6

Analisando a equação:
  1. e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência.
  2. Não há produtos entre e suas derivadas.
  3. Os coeficientes dependem apenas de .

Passo 7

Como todos esses pontos são satisfeitos, essa equação diferencial é linear.

Resposta

Sim, a equação diferencial dada é linear porque pode ser escrita na forma padrão de uma equação linear, onde a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e os coeficientes dependem apenas de .

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