Determine se a equação diferencial é linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me perguntou para determinar se uma equação diferencial é linear. Antes de mais nada, precisamos entender o que é uma equação diferencial linear. Vamos precisar saber sobre equações diferenciais e o conceito de linearidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, uma equação diferencial envolve derivadas de uma função desconhecida. Por exemplo, pode ser algo como
, onde
é a função que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, para verificar se essa equação é linear, precisamos ver se ela pode ser escrita na forma geral:
Aqui, os coeficientes
são funções de
e
também é uma função conhecida.
Passo 4
Uma equação diferencial é linear se:
- A função desconhecida
e todas as suas derivadas aparecem apenas na primeira potência (não estão elevadas ao quadrado, cúbica, etc.). - Não há produtos entre
e suas derivadas. - Os coeficientes
dependem apenas de , não de ou suas derivadas.
Passo 5
Vamos colocar isso em prática. Suponha que você tenha uma equação como:
Aqui:
-
(coeficiente da segunda derivada), -
(coeficiente da primeira derivada), -
(coeficiente de ), -
.
Passo 6
Analisando a equação:
-
e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência. - Não há produtos entre
e suas derivadas. - Os coeficientes dependem apenas de
.
Passo 7
Como todos esses pontos são satisfeitos, essa equação diferencial é linear.
Resposta
Sim, a equação diferencial dada é linear porque pode ser escrita na forma padrão de uma equação linear, onde a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e os coeficientes dependem apenas de
.
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I.