I.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou é uma equação diferencial:
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição para equações de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. A equação dada é:
Aqui,
,
e
. Isso é uma equação de Bernoulli porque o termo de
está elevado a uma potência diferente de 1.
Passo 3
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
da equação original na expressão para
:
Lembrando que
, a equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear em
.
Passo 5
Para resolver essa equação linear, usamos um fator integrante. A equação está na forma:
O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Infelizmente, a integral
não pode ser expressa em termos de funções elementares, então deixamos a solução em termos da integral.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante de integração.
Exercícios relacionados
Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
é o sólido limitado pelas superficies dadas.
Determine se a equação diferencial é linear.