I. y' + e' y = x^2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou é uma equação diferencial: . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição para equações de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. A equação dada é:
Aqui, , e . Isso é uma equação de Bernoulli porque o termo de está elevado a uma potência diferente de 1.

Passo 3

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos da equação original na expressão para :
Lembrando que , a equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear em .

Passo 5

Para resolver essa equação linear, usamos um fator integrante. A equação está na forma:
O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Infelizmente, a integral não pode ser expressa em termos de funções elementares, então deixamos a solução em termos da integral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante de integração.

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