Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Esse exercício está dentro do conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. A equação está no formato padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a tornar a equação mais fácil de resolver. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas no lado esquerdo.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para
.
Passo 6
Vamos resolver as integrais do lado direito:
- Para
, usamos integração por partes: - Seja
e - Então,
e - Aplicando integração por partes:
- Seja
- Para
:
Passo 7
Juntando tudo, temos:
Fatorando
do lado direito:
Passo 8
Agora, dividimos ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
é o sólido limitado pelas superficies dadas.
Calcule a integral iterada.
I.
Determine se a equação diferencial é linear.