y' + y = x + e^2, y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Esse exercício está dentro do conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. A equação está no formato padrão:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a tornar a equação mais fácil de resolver. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas no lado esquerdo.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para .

Passo 6

Vamos resolver as integrais do lado direito:
  1. Para , usamos integração por partes:
    • Seja e
    • Então, e
    • Aplicando integração por partes:
  2. Para :

Passo 7

Juntando tudo, temos:
Fatorando do lado direito:

Passo 8

Agora, dividimos ambos os lados por para resolver para :

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Expresse a integral integral triplaE f(x, y, z) d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superficies dadas. y=x^2+z=0, y+2 z=4
Calcule a integral iterada. integral0^raizpi integral0^x integral0^x pi x^2 sen y d y d z d x
I. y' + e' y = x^2 y^2
Determine se a equação diferencial é linear.