Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação que relaciona
e
através de
, onde
é uma constante arbitrária. Nosso objetivo é encontrar uma equação diferencial de menor ordem possível que não contenha constantes arbitrárias e que tenha essa relação como solução. Para isso, vamos precisar usar técnicas de cálculo diferencial, como derivação, para eliminar a constante
e obter uma equação envolvendo apenas
e suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar os cálculos:
Isso significa que:
Nosso objetivo é eliminar a constante
dessa equação para encontrar uma relação direta entre
e
.
Passo 3
Para eliminar a constante
, vamos isolar
na equação:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação original em relação a
para levar ao próximo passo. Lembrando que
é uma função de
, usaremos a regra da cadeia:
Primeiro, a derivada da esquerda:
E a derivada da direita:
Mas como
é uma constante,
, então:
Passo 5
Agora, igualamos as duas derivadas:
Lembrando que já expressamos
em termos de
e
no Passo 3, substituímos:
Passo 6
Agora, vamos simplificar essa equação para obter uma relação que envolva apenas
,
e
. Multiplicando ambos os lados por
para eliminar as frações:
Rearranjando os termos:
Isolando
:
Resposta
A equação diferencial de menor ordem possível que não contém constantes arbitrárias e que possui as soluções
é: