Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções: ln(x/y) = 1 + a*y

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação que relaciona e através de , onde é uma constante arbitrária. Nosso objetivo é encontrar uma equação diferencial de menor ordem possível que não contenha constantes arbitrárias e que tenha essa relação como solução. Para isso, vamos precisar usar técnicas de cálculo diferencial, como derivação, para eliminar a constante e obter uma equação envolvendo apenas e suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar os cálculos:
Isso significa que:
Nosso objetivo é eliminar a constante dessa equação para encontrar uma relação direta entre e .

Passo 3

Para eliminar a constante , vamos isolar na equação:
Agora, vamos dividir ambos os lados por para resolver para :

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação original em relação a para levar ao próximo passo. Lembrando que é uma função de , usaremos a regra da cadeia:
Primeiro, a derivada da esquerda:
E a derivada da direita:
Mas como é uma constante, , então:

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivadas:
Lembrando que já expressamos em termos de e no Passo 3, substituímos:

Passo 6

Agora, vamos simplificar essa equação para obter uma relação que envolva apenas , e . Multiplicando ambos os lados por para eliminar as frações:
Rearranjando os termos:
Isolando :

Resposta

A equação diferencial de menor ordem possível que não contém constantes arbitrárias e que possui as soluções é:

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