Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções: x^2 y^3 + x^3 y^5 = C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma equação diferencial da menor ordem possível que não tenha constantes arbitrárias e que tenha como soluções a equação implícita . A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais, especificamente envolvendo equações implícitas. Para resolver, vamos precisar diferenciar a equação dada para eliminar a constante e chegar na equação diferencial desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a equação define uma relação entre e , onde é uma constante arbitrária. Nosso objetivo é eliminar essa constante para obter uma relação que envolva , a derivada de em relação a .

Passo 3

Para eliminar , vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa aplicar a regra do produto e a regra da cadeia onde necessário. A derivada de , que é uma constante, será zero.

Passo 4

Vamos diferenciar cada termo:
  1. Derivada de :
    Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar .
  2. Derivada de :
    Novamente, aplicamos as regras do produto e da cadeia.

Passo 5

Somando as derivadas, temos:
Isso porque a derivada do lado direito, , é zero.

Passo 6

Vamos agrupar os termos que contêm e os que não contêm:

Passo 7

Agora, isolamos :

Resposta

A equação diferencial de menor ordem possível que atende às condições do enunciado é:

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