Determine uma equação diferencial de menor ordem possível, que não contenha constantes arbitrárias e que possua as seguintes soluções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma equação diferencial da menor ordem possível que não tenha constantes arbitrárias e que tenha como soluções a equação implícita
. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais, especificamente envolvendo equações implícitas. Para resolver, vamos precisar diferenciar a equação dada para eliminar a constante
e chegar na equação diferencial desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a equação
define uma relação entre
e
, onde
é uma constante arbitrária. Nosso objetivo é eliminar essa constante para obter uma relação que envolva
, a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Para eliminar
, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa aplicar a regra do produto e a regra da cadeia onde necessário. A derivada de
, que é uma constante, será zero.
Passo 4
Vamos diferenciar cada termo:
-
Derivada de
: Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar. -
Derivada de
: Novamente, aplicamos as regras do produto e da cadeia.
Passo 5
Somando as derivadas, temos:
Isso porque a derivada do lado direito,
, é zero.
Passo 6
Vamos agrupar os termos que contêm
e os que não contêm:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Resposta
A equação diferencial de menor ordem possível que atende às condições do enunciado é: