Supondo que y = arctan(x) derivável em R, calcule d/y d/x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função e precisa encontrar a derivada . A matéria aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente o estudo de derivadas. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas inversas, como a arctan.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função . Ela é a função inversa da tangente, ou seja, significa que . Isso vai nos ajudar a encontrar a derivada usando a regra da derivada da função inversa.

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia), e a derivada de em relação a é 1. Então, temos:

Passo 4

Precisamos isolar . Para isso, basta dividir ambos os lados da equação por :

Passo 5

Sabemos que . Já que , substituindo na equa��ão fica:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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