Determine a equação diferencial ordinária associada a cada solução geral abaixo:
Resp:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma solução geral da equação diferencial dada por:
Aqui,
e
são constantes arbitrárias. Nossa tarefa é determinar a equação diferencial ordinária (EDO) que tem essa solução geral. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre como relacionar soluções gerais com suas EDOs correspondentes.
Passo 2
Sabemos que a solução geral de uma EDO contém todas as possíveis soluções particulares da equação. Para encontrar a EDO a partir da solução geral, precisamos eliminar as constantes
e
. Isso geralmente é feito derivando a expressão de
em relação a
e substituindo de volta na equação para eliminar as constantes.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 5
Nosso objetivo é eliminar as constantes
e
. Observamos que a segunda derivada
nos permite expressar
em termos de
:
Agora, substituímos
na expressão da primeira derivada:
Passo 6
Agora, rearranjamos a equação para obter a EDO:
Resposta
A equação diferencial ordinária associada é:
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Determine a equação diferencial ordinária associada a cada solução geral abaixo:
. Resp:
Verifique em cada caso se a função dada é solução da equação diferencial correspondente:
Função: EDO:
. Resp: NÃO
Função:
Determine a solução geral de cada equação diferencial:
. Resp:
Determine a solução geral de cada equação diferencial:
Resp: