Determine a equação diferencial ordinária associada a cada solução geral abaixo:
Resp:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma solução geral da equação diferencial dada por:
Aqui, e são constantes arbitrárias. Nossa tarefa é determinar a equação diferencial ordinária (EDO) que tem essa solução geral. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre como relacionar soluções gerais com suas EDOs correspondentes.

Passo 2

Sabemos que a solução geral de uma EDO contém todas as possíveis soluções particulares da equação. Para encontrar a EDO a partir da solução geral, precisamos eliminar as constantes e . Isso geralmente é feito derivando a expressão de em relação a e substituindo de volta na equação para eliminar as constantes.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a :

Passo 5

Nosso objetivo é eliminar as constantes e . Observamos que a segunda derivada nos permite expressar em termos de :
Agora, substituímos na expressão da primeira derivada:

Passo 6

Agora, rearranjamos a equação para obter a EDO:

Resposta

A equação diferencial ordinária associada é:

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Determine a equação diferencial ordinária associada a cada solução geral abaixo:
. Resp:
Verifique em cada caso se a função dada é solução da equação diferencial correspondente:
Função: EDO: . Resp: NÃO
Determine a solução geral de cada equação diferencial:
. Resp:
Determine a solução geral de cada equação diferencial:
Resp: