Determine a equação diferencial ordinária associada a cada solução geral abaixo:
y = C e^x. Resp: d y/d x - y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a equação diferencial ordinária (EDO) que tem como solução geral . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais, onde buscamos encontrar uma relação envolvendo e suas derivadas que seja satisfeita por todas as soluções da forma dada. Para resolver isso, vamos precisar usar noções básicas de derivação e entender como associar uma solução geral a uma EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é uma solução geral onde é uma constante arbitrária. Para encontrar a EDO associada, precisamos eliminar essa constante da equação.

Passo 3

Vamos derivar em relação a . A derivada de é:
Note que a derivada de é e a constante permanece.

Passo 4

Agora, temos duas expressões:
Perceba que é igual a , já que ambas são .

Passo 5

Com base nisso, podemos escrever a relação entre e :
Para colocar essa equação na forma padrão, podemos rearranjar os termos:

Resposta

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