Determine a equação diferencial ordinária associada a cada solução geral abaixo:
. Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a equação diferencial ordinária (EDO) que tem como solução geral
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais, onde buscamos encontrar uma relação envolvendo
e suas derivadas que seja satisfeita por todas as soluções da forma dada. Para resolver isso, vamos precisar usar noções básicas de derivação e entender como associar uma solução geral a uma EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é uma solução geral onde
é uma constante arbitrária. Para encontrar a EDO associada, precisamos eliminar essa constante da equação.
Passo 3
Vamos derivar
em relação a
. A derivada de
é:
Note que a derivada de
é
e a constante
permanece.
Passo 4
Agora, temos duas expressões:
Perceba que
é igual a
, já que ambas são
.
Passo 5
Com base nisso, podemos escrever a relação entre
e
:
Para colocar essa equação na forma padrão, podemos rearranjar os termos:
Resposta
Exercícios relacionados
Verifique em cada caso se a função dada é solução da equação diferencial correspondente:
Função: EDO:
. Resp: NÃO
Função:
Verifique em cada caso se a função dada é solução da equação diferencial correspondente:
Função: . EDO:
. Resp: SIM
Função:
Determine a equação diferencial ordinária associada a cada solução geral abaixo:
Resp:
Determine a solução geral de cada equação diferencial:
. Resp: