Determine a solução geral de cada equação diferencial:
. Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer. Temos a equação diferencial
e precisamos encontrar a solução geral dela. Para resolver isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis e manipulação algébrica, que são ferramentas comuns em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar isolar o termo que envolve a derivada
. Vamos reescrever a equação:
Subtraindo
de ambos os lados, ficamos com:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o lado direito da equação. Primeiro, colocamos os termos sobre o mesmo denominador:
Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos separar as variáveis
e
para facilitar a integração. Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
, temos:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados para encontrar a solução geral. A integral de
é
e a integral de
é
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para simplificar a expressão, multiplicamos ambos os lados por 3:
Podemos renomear a constante
como apenas
, já que ela é também uma constante arbitrária. Assim, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante de integração.
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Determine a equação diferencial ordinária associada a cada solução geral abaixo:
Resp:
Determine a equação diferencial ordinária associada a cada solução geral abaixo:
. Resp:
Determine a solução geral de cada equação diferencial:
Resp:
Determine a função
que satisfaça as condições dadas:
e
. Resp: