Determine a solução geral de cada equação diferencial:
. Resp:

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer. Temos a equação diferencial e precisamos encontrar a solução geral dela. Para resolver isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis e manipulação algébrica, que são ferramentas comuns em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar isolar o termo que envolve a derivada . Vamos reescrever a equação:
Subtraindo de ambos os lados, ficamos com:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o lado direito da equação. Primeiro, colocamos os termos sobre o mesmo denominador:
Então, a equação fica:

Passo 4

Vamos separar as variáveis e para facilitar a integração. Dividindo ambos os lados por e multiplicando por , temos:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados para encontrar a solução geral. A integral de é e a integral de é :
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Para simplificar a expressão, multiplicamos ambos os lados por 3:
Podemos renomear a constante como apenas , já que ela é também uma constante arbitrária. Assim, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine a equação diferencial ordinária associada a cada solução geral abaixo:
Resp:
Determine a equação diferencial ordinária associada a cada solução geral abaixo:
. Resp:
Determine a solução geral de cada equação diferencial:
Resp:
Determine a função que satisfaça as condições dadas:
e . Resp: