Determine a solução geral de cada equação diferencial:
v + x dv/dx = (v^3 - 1) / v^2. Resp: v^3 = C - 3 ln(|x|)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer. Temos a equação diferencial e precisamos encontrar a solução geral dela. Para resolver isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis e manipulação algébrica, que são ferramentas comuns em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar isolar o termo que envolve a derivada . Vamos reescrever a equação:
Subtraindo v de ambos os lados, ficamos com:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o lado direito da equação. Primeiro, colocamos os termos sobre o mesmo denominador:
Então, a equação fica:

Passo 4

Vamos separar as variáveis v e x para facilitar a integração. Dividindo ambos os lados por x e multiplicando por , temos:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados para encontrar a solução geral. A integral de é e a integral de é :
Isso nos dá:
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para simplificar a expressão, multiplicamos ambos os lados por 3:
Podemos renomear a constante como apenas C, já que ela é também uma constante arbitrária. Assim, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde C é uma constante de integração.

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