Mostre que se v=a i+b j for um vetor no plano, então os vetores v1=-b i+a j e v2=b i-a j são ortogonais a v. Use este resultado para determinar dois vetores unitários que são ortogonais a v.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra vetorial. O problema pede para mostrarmos que, dado um vetor no plano, os vetores e são ortogonais a . Além disso, precisamos usar esse resultado para encontrar dois vetores unitários que também sejam ortogonais a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) deles for igual a zero. O produto escalar de dois vetores u cdot v = u1v1 + u2v2 e é dado por:
Se , então e são ortogonais.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre v cdot v1 = (a)(-b) + (b)(a) = -ab + ab = 0 e :
Como o produto escalar é zero, é ortogonal a .

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar entre v cdot v2 = (a)(b) + (b)(-a) = ab - ab = 0 e :
Novamente, o produto escalar é zero, então também é ortogonal a .

Passo 5

Para encontrar vetores unitários ortogonais a |u| = raizu1^2 + u2^2 , precisamos normalizar e . A normalização de um vetor consiste em dividir o vetor pela sua magnitude (ou comprimento). A magnitude de um vetor é:

Passo 6

Vamos calcular a magnitude de |v1| = raiz(-b)^2 + a^2 = raizb^2 + a^2 = raiza^2 + b^2 :
Da mesma forma, a magnitude de é também .

Passo 7

Agora, normalizamos u1 = v1|v1| = -b,i + a,jraiza^2 + b^2 e u2 = v2|v2| = b,i - a,jraiza^2 + b^2 para obter os vetores unitários:
Esses são dois vetores unitários que são ortogonais a .

Resposta

Os dois vetores unitários ortogonais a u1 = -b,i + a,jraiza^2 + b^2 e u2 = b,i - a,jraiza^2 + b^2 são:

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