Mostre que se for um vetor no plano, então os vetores e são ortogonais a . Use este resultado para determinar dois vetores unitários que são ortogonais a .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra vetorial. O problema pede para mostrarmos que, dado um vetor no plano, os vetores e são ortogonais a . Além disso, precisamos usar esse resultado para encontrar dois vetores unitários que também sejam ortogonais a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) deles for igual a zero. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Se , então e são ortogonais.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre e :
Como o produto escalar é zero, é ortogonal a .

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar entre e :
Novamente, o produto escalar é zero, então também é ortogonal a .

Passo 5

Para encontrar vetores unitários ortogonais a , precisamos normalizar e . A normalização de um vetor consiste em dividir o vetor pela sua magnitude (ou comprimento). A magnitude de um vetor é:

Passo 6

Vamos calcular a magnitude de :
Da mesma forma, a magnitude de é também .

Passo 7

Agora, normalizamos e para obter os vetores unitários:
Esses são dois vetores unitários que são ortogonais a .

Resposta

Os dois vetores unitários ortogonais a são:

Exercícios relacionados

Considere o sistema
Determine os valores de e .
Determine a equação da elipse:
(a) centrada no ponto e com foco no ponto , que passa pelo ponto ;
Nos itens abaixo determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove e se for falsa apresente um contraexemplo.
Se então .
Encontre a equação na forma canônica, os vértices, o centro, os focos, a reta focal, a reta não focal, os vértices imaginários, a excentricidade, as assíntotas, e faça o esboço da hipérbole , onde:
(a) ;