Mostre que se
for um vetor no plano, então os vetores
e
são ortogonais a
. Use este resultado para determinar dois vetores unitários que são ortogonais a
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra vetorial. O problema pede para mostrarmos que, dado um vetor
no plano, os vetores
e
são ortogonais a
. Além disso, precisamos usar esse resultado para encontrar dois vetores unitários que também sejam ortogonais a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) deles for igual a zero. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Se
, então
e
são ortogonais.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Como o produto escalar é zero,
é ortogonal a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Novamente, o produto escalar é zero, então
também é ortogonal a
.
Passo 5
Para encontrar vetores unitários ortogonais a
, precisamos normalizar
e
. A normalização de um vetor consiste em dividir o vetor pela sua magnitude (ou comprimento). A magnitude de um vetor
é:
Passo 6
Vamos calcular a magnitude de
:
Da mesma forma, a magnitude de
é também
.
Passo 7
Agora, normalizamos
e
para obter os vetores unitários:
Esses são dois vetores unitários que são ortogonais a
.
Resposta
Os dois vetores unitários ortogonais a
são:
Exercícios relacionados
Considere o sistema
Determine os valores de
e
.
Determine a equação da elipse:
(a) centrada no ponto e com foco no ponto
, que passa pelo ponto
;
(a) centrada no ponto
Nos itens abaixo determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove e se for falsa apresente um contraexemplo.
Se então
.
Se
Encontre a equação na forma canônica, os vértices, o centro, os focos, a reta focal, a reta não focal, os vértices imaginários, a excentricidade, as assíntotas, e faça o esboço da hipérbole
, onde:
(a) ;
(a)