Determine o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboce as parábolas cujas equações são: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da parábola:
Nosso objetivo é encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e fazer um esboço da parábola. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da parábola e identificar seus parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o reconhecimento da forma padrão. Vamos agrupar os termos com :
Agora, vamos isolar os termos de :

Passo 3

Vamos completar o quadrado para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Para isso, pegamos metade do coeficiente de (que é 4) e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4 dentro dos parênteses:

Passo 4

Distribuímos o 2:
Agora, isolamos :

Passo 5

Vamos reescrever para deixar mais claro:
Agora, essa é a forma padrão da parábola que abre para a esquerda, dada por:
Onde é o vértice e é a distância do vértice ao foco.

Passo 6

Comparando com a forma padrão:
Temos:

Passo 7

Agora que temos , podemos encontrar o foco e a diretriz.
  • Foco:
  • Diretriz:

Passo 8

Então, resumindo:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
E a parábola abre para a esquerda, já que é negativo.

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
  • Esboço da Parábola: A parábola abre para a esquerda, com o vértice em , o foco em e a diretriz na reta vertical .

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Determine a equação da elipse centrada no ponto (1,2), tem um vértice no ponto e sua excentricidade é ;
Dê a equação da parábola de vértice na origem e e reta diretriz .
Quais dos seguintes conjuntos abaixo são subespaço de ? Justifique.
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