Determine o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboce as parábolas cujas equações são:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da parábola:
Nosso objetivo é encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e fazer um esboço da parábola. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da parábola e identificar seus parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o reconhecimento da forma padrão. Vamos agrupar os termos com
:
Agora, vamos isolar os termos de
:
Passo 3
Vamos completar o quadrado para os termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Para isso, pegamos metade do coeficiente de
(que é 4) e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4 dentro dos parênteses:
Passo 4
Distribuímos o 2:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Vamos reescrever para deixar mais claro:
Agora, essa é a forma padrão da parábola que abre para a esquerda, dada por:
Onde
é o vértice e
é a distância do vértice ao foco.
Passo 6
Comparando com a forma padrão:
Temos:
-
-
-
→
Passo 7
Agora que temos
, podemos encontrar o foco e a diretriz.
-
Foco:
-
Diretriz:
Passo 8
Então, resumindo:
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
E a parábola abre para a esquerda, já que
é negativo.
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
- Esboço da Parábola: A parábola abre para a esquerda, com o vértice em
, o foco em e a diretriz na reta vertical .
Exercícios relacionados
Determine a equação da elipse centrada no ponto (1,2), tem um vértice no ponto
e sua excentricidade é
;
Dê a equação da parábola de vértice na origem e e reta diretriz
.
Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaço de
? Justifique.
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