Determine o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboce as parábolas cujas equações são: 2 y^2+5 x+8 y-7=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da parábola:
2 y^2 + 5 x + 8 y - 7 = 0
Nosso objetivo é encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e fazer um esboço da parábola. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da parábola e identificar seus parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o reconhecimento da forma padrão. Vamos agrupar os termos com 2 y^2 + 8 y + 5 x - 7 = 0 :
2 y^2 + 8 y = -5 x + 7
Agora, vamos isolar os termos de :

Passo 3

Vamos completar o quadrado para os termos de 2 (y^2 + 4 y) = -5 x + 7 . Primeiro, fatoramos o coeficiente de (42)^2 = 4 :
2 (y^2 + 4 y + 4 - 4) = -5 x + 7
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Para isso, pegamos metade do coeficiente de 2 ( (y + 2)^2 - 4 ) = -5 x + 7 (que é 4) e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4 dentro dos parênteses:

Passo 4

Distribuímos o 2:
2 (y + 2)^2 - 8 = -5 x + 7
Agora, isolamos 2 (y + 2)^2 = -5 x + 15 :
(y + 2)^2 = -52 x + 152

Passo 5

Vamos reescrever para deixar mais claro:
(y + 2)^2 = -52 (x - 3)
Agora, essa é a forma padrão da parábola que abre para a esquerda, dada por:
(y - k)^2 = 4 p (x - h)
Onde é o vértice e é a distância do vértice ao foco.

Passo 6

Comparando com a forma padrão:
(y + 2)^2 = -52 (x - 3)
Temos:

Passo 7

Agora que temos , podemos encontrar o foco e a diretriz.
  • Foco:
  • Diretriz:

Passo 8

Então, resumindo:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
E a parábola abre para a esquerda, já que é negativo.

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
  • Esboço da Parábola: A parábola abre para a esquerda, com o vértice em , o foco em e a diretriz na reta vertical .

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