Quais dos seguintes conjuntos W são subespaços vetoriais de R^n ? Justifique sua resposta.
(b) W=(x1, x2, ldots, xn) in R^n / x1=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as condições para um conjunto ser considerado um subespaço vetorial de . Um conjunto é um subespaço vetorial se ele satisfaz três propriedades fundamentais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero de está em .
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo dele por um escalar também está em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o nosso conjunto .

Passo 3

1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence a .
Como no conjunto , a condição é . No vetor zero, temos . Portanto, .

Passo 4

2. Verificar se u = (0, u2, ldots, un) é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer de v = (0, v2, ldots, vn) :
u + v = (0 + 0, u2 + v2, ldots, un + vn) = (0, u2 + v2, ldots, un + vn)
Agora, somamos esses vetores:
Note que a primeira componente da soma é , então .

Passo 5

3. Verificar se u = (0, u2, ldots, un) é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer de cu = (c cdot 0, c cdot u2, ldots, c cdot un) = (0, c u2, ldots, c un) e multiplicá-lo por um escalar :
A primeira componente continua sendo , então .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço vetorial de .

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