Quais dos seguintes conjuntos
são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as condições para um conjunto ser considerado um subespaço vetorial de
. Um conjunto
é um subespaço vetorial se ele satisfaz três propriedades fundamentais:
- Contém o vetor zero: O vetor zero de
está em . - Fechado sob adição: Se dois vetores estão em
, a soma deles também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em
, qualquer múltiplo dele por um escalar também está em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o nosso conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se
contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence a
.
Como no conjunto
, a condição é
. No vetor zero, temos
. Portanto,
.
Passo 4
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer de
:
Agora, somamos esses vetores:
Note que a primeira componente da soma é
, então
.
Passo 5
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer de
e multiplicá-lo por um escalar
:
A primeira componente continua sendo
, então
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é um subespaço vetorial de
.