Obtenha a equação geral da circunferência com centro em (1,-2) e raio 7. Quais destes pontos, P=(1,5) e Q=(0,0), pertencem à circunferência?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação geral de uma circunferência que tem centro no ponto (1, -2) e raio 7. Além disso, devemos verificar se os pontos P=(1,5) e Q=(0,0) estão na circunferência. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da circunferência e testar os pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral da circunferência. A forma padrão é:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
onde (a, b) é o centro e r é o raio.

Passo 3

Substituindo os valores dados na fórmula:
  • Centro (a, b) = (1, -2)
  • Raio r = 7
Então:
(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 7^2

Passo 4

Simplificando a equação:
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 49
Essa é a equação padrão da circunferência com as características dadas.

Passo 5

Agora, vamos transformar essa equação para a forma geral. Vamos expandir os termos:
(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1
(y + 2)^2 = y^2 + 4y + 4

Passo 6

Somando as duas expressões:
x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 49

Passo 7

Juntando os termos semelhantes:
x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 49

Passo 8

Subtraindo 49 de ambos os lados para obter a equação geral:
x^2 + y^2 - 2x + 4y - 44 = 0

Passo 9

Agora, vamos verificar se os pontos P=(1,5) e Q=(0,0) estão na circunferência. Para isso, substituímos as coordenadas de cada ponto na equação da circunferência e vemos se a igualdade é satisfeita.

Passo 10

Primeiro, o ponto P=(1,5):
Substituindo na equação original:
(1 - 1)^2 + (5 + 2)^2 = 0 + 49 = 49
Como 49 = 49, o ponto P está na circunferência.

Passo 11

Segundo, o ponto Q=(0,0):
Substituindo na equação original:
(0 - 1)^2 + (0 + 2)^2 = 1 + 4 = 5
Como 5 neq 49, o ponto Q não está na circunferência.

Resposta

A equação geral da circunferência é x^2 + y^2 - 2x + 4y - 44 = 0. O ponto P=(1,5) pertence à circunferência, enquanto o ponto Q=(0,0) não pertence.

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