Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados:
centro
, um dos focos
, e um ponto
da elipse.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole juntos! A gente precisa escrever a equação reduzida da hipérbole sabendo que o centro é
, um dos focos está em
e que um ponto da hipérbole é
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como definição de hipérbole, distância entre pontos e as características dos eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma hipérbole tem dois focos e o centro está no meio deles. Sabemos que o centro é
e um dos focos é
. Isso significa que o outro foco fica simetricamente em relação ao centro, ou seja,
.
Passo 3
Agora, precisamos identificar qual é o eixo maior da hipérbole. Como os focos estão alinhados no eixo y, a hipérbole terá um eixo vertical. A equação padrão de uma hipérbole com eixo vertical é:
Onde:
-
é a distância do centro até os vértices. -
está relacionado com a abertura da hipérbole. -
é a distância do centro até os focos.
Sabemos que
.
Passo 4
Precisamos encontrar
. Para isso, vamos usar o ponto dado
que está na hipérbole. Substituindo esses valores na equação:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que na hipérbole,
. Já temos
, então:
Vamos chamar essa equação de (1).
Passo 6
Voltando à equação que obtivemos substituindo o ponto:
Podemos reorganizar para:
Multiplicando ambos os lados por
:
Usando a equação (1), substituímos
:
Passo 7
Vamos resolver a equação:
Juntando termos semelhantes:
Levantando todos os termos para um lado:
Passo 8
Essa é uma equação quadrática em
. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Temos duas soluções:
Escolhemos
por ser uma solução mais simples.
Passo 9
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a equação (1):
Como
não pode ser negativo, precisamos revisar nossos cálculos. Parece que houve um erro na escolha de
. Vamos escolher a outra solução:
.
Então:
E:
Passo 10
Agora, colocando os valores encontrados na equação padrão da hipérbole:
Podemos simplificar as frações para facilitar:
Multiplicando numerador e denominador para obter frações com denominador 1:
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é: