Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados: O centro (0,0), um dos focos (0,-raiz40), e um ponto (raiz5, 143) da elipse.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole juntos! A gente precisa escrever a equação reduzida da hipérbole sabendo que o centro é , um dos focos está em e que um ponto da hipérbole é . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como definição de hipérbole, distância entre pontos e as características dos eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma hipérbole tem dois focos e o centro está no meio deles. Sabemos que o centro é e um dos focos é . Isso significa que o outro foco fica simetricamente em relação ao centro, ou seja, .

Passo 3

Agora, precisamos identificar qual é o eixo maior da hipérbole. Como os focos estão alinhados no eixo y, a hipérbole terá um eixo vertical. A equação padrão de uma hipérbole com eixo vertical é:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
Onde:
  • é a distância do centro até os vértices.
  • está relacionado com a abertura da hipérbole.
  • é a distância do centro até os focos.
Sabemos que .

Passo 4

Precisamos encontrar (143)^2a^2 - (raiz5)^2b^2 = 1 . Para isso, vamos usar o ponto dado 1969a^2 - 5b^2 = 1 que está na hipérbole. Substituindo esses valores na equação:
Simplificando:

Passo 5

Sabemos que na hipérbole, 40 = a^2 + b^2 . Já temos , então:
Vamos chamar essa equação de (1).

Passo 6

Voltando à equação que obtivemos substituindo o ponto:
1969a^2 - 5b^2 = 1
Podemos reorganizar para:
1969a^2 = 1 + 5b^2
Multiplicando ambos os lados por 196b^2 = 9a^2b^2 + 45a^2 :
196(40 - a^2) = 9a^2(40 - a^2) + 45a^2
Usando a equação (1), substituímos :

Passo 7

Vamos resolver a equação:
7840 - 196a^2 = 360a^2 - 9a^4 + 45a^2
Juntando termos semelhantes:
7840 - 196a^2 = -9a^4 + 405a^2
Levantando todos os termos para um lado:
9a^4 - 601a^2 + 7840 = 0

Passo 8

Essa é uma equação quadrática em a^2 = 601 pm raiz601^2 - 4 cdot 9 cdot 78402 cdot 9 . Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
De
Calculando o discriminante:
raiz78961 = 281
a^2 = 601 pm 28118
Então:
Temos duas soluções:
Escolhemos por ser uma solução mais simples.

Passo 9

Agora que temos 40 = 49 + b^2 , podemos encontrar b^2 = 40 - 49 = -9 usando a equação (1):
a^2 approx 17.78
b^2 = 40 - 17.78 approx 22.22
Como não pode ser negativo, precisamos revisar nossos cálculos. Parece que houve um erro na escolha de . Vamos escolher a outra solução: .
Então:
E:

Passo 10

Agora, colocando os valores encontrados na equação padrão da hipérbole:
y^217.78 - x^222.22 = 1
Podemos simplificar as frações para facilitar:
y^21609 - x^22009 = 1
Multiplicando numerador e denominador para obter frações com denominador 1:
9y^2160 - 9x^2200 = 1

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
y^217.78 - x^222.22 = 1

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