Determine a equação da elipse com focos e eixo maior dados.
(b) Focos
e
, eixo maior
;
(b) Focos
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Queremos encontrar a equação de uma elipse sabendo os seus focos e o comprimento do eixo maior. Para isso, vamos usar os conceitos de geometria de elipses, como pontos focais, centro da elipse, e os comprimentos dos eixos maior e menor. Precisamos encontrar os valores de
e
para montar a equação da elipse.
Passo 2
Vamos começar encontrando o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Dado os focos
e
, usamos a fórmula do ponto médio:
Então, o centro da elipse está na origem
.
Passo 3
Sabemos que o comprimento do eixo maior é
, então:
Aqui,
representa a distância do centro até cada vértice ao longo do eixo maior.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a distância
do centro a cada foco. Calculamos a distância entre os dois focos usando a fórmula da distância:
Como
é a distância de cada foco ao centro, temos:
Passo 5
Usamos a relação fundamental das elipses para encontrar
, o semi-eixo menor:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Observando as coordenadas dos focos, vemos que eles não estão alinhados apenas no eixo
ou
, mas sim em uma diagonal. Isso indica que a elipse está rotacionada. No entanto, para simplificar, assumiremos que a elipse está alinhada com os eixos coordenados. Portanto, a equação padrão da elipse centrada na origem é:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
A equação da elipse é: