Para as elipses dadas abaixo, determine os focos e faça um esboço do seu gráfico.
(b) 4 x^2+3 y^2=12;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os focos de uma elipse e fazer um esboço do gráfico dela. A equação que temos é . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica sobre elipses para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. Isso facilita identificar os parâmetros principais, como os semieixos e os focos. A forma padrão da elipse é:
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1
Como não temos termos de e , a elipse está centralizada na origem .

Passo 3

Vamos dividir toda a equação por 12 para transformar em 1:
4x^212 + 3y^212 = 1212
Simplificando:
x^23 + y^24 = 1
Agora, podemos identificar e .

Passo 4

Precisamos saber qual dos semieixos é maior para determinar a orientação da elipse. Comparando e , vemos que é maior que . Isso significa que o semieixo maior está na direção do eixo .

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
c = raizb^2 - a^2
Substituindo os valores:
c = raiz4 - 3 = raiz1 = 1
Então, os focos estão a uma distância do centro ao longo do eixo maior (eixo ).

Passo 6

Como a elipse está centralizada na origem, os focos ficam nos pontos:
(0, c) e (0, -c)
Substituindo (0, 1) e (0, -1) :
Para o esboço, desenhe uma elipse centrada na origem, mais alta que larga, com os focos marcados nos pontos e .

Resposta

Os focos da elipse são e .

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