Para as elipses dadas abaixo, determine os focos e faça um esboço do seu gráfico.
(b)
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os focos de uma elipse e fazer um esboço do gráfico dela. A equação que temos é
. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica sobre elipses para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. Isso facilita identificar os parâmetros principais, como os semieixos e os focos. A forma padrão da elipse é:
Como não temos termos de
e
, a elipse está centralizada na origem
.
Passo 3
Vamos dividir toda a equação por 12 para transformar em 1:
Simplificando:
Agora, podemos identificar
e
.
Passo 4
Precisamos saber qual dos semieixos é maior para determinar a orientação da elipse. Comparando
e
, vemos que
é maior que
. Isso significa que o semieixo maior está na direção do eixo
.
Passo 5
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, os focos estão a uma distância
do centro ao longo do eixo maior (eixo
).
Passo 6
Como a elipse está centralizada na origem, os focos ficam nos pontos:
Substituindo
:
Para o esboço, desenhe uma elipse centrada na origem, mais alta que larga, com os focos marcados nos pontos
e
.
Resposta
Os focos da elipse são
e
.