Para as elipses dadas abaixo, determine os focos e faça um esboço do seu gráfico.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de elipses! O enunciado pede para encontrar os focos da elipse dada pela equação
e fazer um esboço do gráfico dela. Vamos usar os conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as elipses, para resolver isso. Precisamos entender a forma padrão da equação da elipse e como identificar seus parâmetros principais, como os semieixos e os focos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada para colocá-la na forma padrão da elipse. A forma padrão para uma elipse centralizada na origem é:
Onde
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. Vamos manipular a equação original para igualar a 1 no lado direito.
Dada a equação:
Multiplicamos ambos os lados por 12 para simplificar:
Agora, a equação está na forma:
Então, podemos identificar
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
e
:
Aqui,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor da elipse.
Passo 4
Para encontrar os focos da elipse, usamos a relação:
Onde
é a distância do centro aos focos.
Vamos calcular
:
Passo 5
Os focos da elipse estão localizados ao longo do eixo maior. Como no nosso caso,
, o eixo maior está ao longo do eixo
. Portanto, os focos são:
Passo 6
Agora, para fazer o esboço do gráfico da elipse:
- Centro: A elipse está centrada na origem
. - Semi-eixos:
- Semi-eixo maior (
): aproximadamente 0,577 unidades ao longo do eixo . - Semi-eixo menor (
): 0,5 unidades ao longo do eixo .
- Semi-eixo maior (
- Focos:
ao longo do eixo .
Desenhe o eixo
e
, marque os pontos dos semieixos e dos focos, e desenhe a elipse conectando esses pontos de forma suave.
Resposta
Os focos da elipse são aproximadamente
e
. O esboço do gráfico da elipse é centrado na origem, com semi-eixo maior de aproximadamente 0,577 unidades ao longo do eixo
e semi-eixo menor de 0,5 unidades ao longo do eixo
, e os focos localizados a cerca de 0,289 unidades de distância do centro ao longo do eixo
.