Para as elipses dadas abaixo, determine os focos e faça um esboço do seu gráfico.
(e) X^24+y^23=112

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de elipses! O enunciado pede para encontrar os focos da elipse dada pela equação e fazer um esboço do gráfico dela. Vamos usar os conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as elipses, para resolver isso. Precisamos entender a forma padrão da equação da elipse e como identificar seus parâmetros principais, como os semieixos e os focos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada para colocá-la na forma padrão da elipse. A forma padrão para uma elipse centralizada na origem é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Onde X^24 + y^23 = 112 é o semi-eixo maior e 12 cdot ( X^24 + y^23 ) = 12 cdot 112 é o semi-eixo menor. Vamos manipular a equação original para igualar a 1 no lado direito.
Dada a equação:
3X^2 + 4y^2 = 1
Multiplicamos ambos os lados por 12 para simplificar:
X^213 + y^214 = 1
Agora, a equação está na forma:
Então, podemos identificar e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de a = raiz13 = 1raiz3 approx 0,577 e b = raiz14 = 12 = 0,5 :
Aqui, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor da elipse.

Passo 4

Para encontrar os focos da elipse, usamos a relação:
c = raiza^2 - b^2
Onde c = raiz13 - 14 = raiz412 - 312 = raiz112 = 12raiz3 approx 0,289 é a distância do centro aos focos.
Vamos calcular :

Passo 5

Os focos da elipse estão localizados ao longo do eixo maior. Como no nosso caso, (pm c, 0) = ( pm 12raiz3, 0 ) approx (pm 0,289, 0) , o eixo maior está ao longo do eixo . Portanto, os focos são:

Passo 6

Agora, para fazer o esboço do gráfico da elipse:
  1. Centro: A elipse está centrada na origem .
  2. Semi-eixos:
    • Semi-eixo maior ( ): aproximadamente 0,577 unidades ao longo do eixo .
    • Semi-eixo menor ( ): 0,5 unidades ao longo do eixo .
  3. Focos: ao longo do eixo .
Desenhe o eixo e , marque os pontos dos semieixos e dos focos, e desenhe a elipse conectando esses pontos de forma suave.

Resposta

Os focos da elipse são aproximadamente e . O esboço do gráfico da elipse é centrado na origem, com semi-eixo maior de aproximadamente 0,577 unidades ao longo do eixo e semi-eixo menor de 0,5 unidades ao longo do eixo , e os focos localizados a cerca de 0,289 unidades de distância do centro ao longo do eixo .

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