Sejam . As retas e definidas por
são ortogonais se, e somente se,
(A)
(B)
©
(D)
(E)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas retas no espaço tridimensional definidas por sistemas de equações. Queremos descobrir quais valores de e fazem com que essas retas sejam ortogonais, ou seja, perpendiculares entre si. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre vetores diretores de retas e como verificar se eles são perpendiculares usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor diretor da reta . A reta é definida pelo sistema:
Para encontrar o vetor diretor, precisamos resolver esse sistema para expressar duas das variáveis em função da terceira. Vamos resolver para e usando o método de substituição ou eliminação.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, expressamos em função de :
Vamos escolher como parâmetro. Então, temos:
Isso nos dá o vetor diretor da reta como:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta . A reta é definida pelo sistema:
Vamos resolver esse sistema da mesma forma. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Expressando em função de :
Escolhendo novamente como parâmetro:
Isso nos dá o vetor diretor da reta como:

Passo 4

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, e , vamos verificar a condição para que eles sejam ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.
O produto escalar é dado por:
Vamos calcular:
Fatorando :

Passo 5

Para que a equação acima seja igual a zero, uma das duas condições deve ser satisfeita:
Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
Substituindo nas equações dadas, verificamos que isso não satisfaz as opções fornecidas, pois nenhuma delas corresponde a isoladamente.
Caso 2:
Resolvendo para :

Resposta

Nenhuma das opções corresponde a e . Portanto, há um erro nos cálculos ou nas opções fornecidas.

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