Sejam alpha, beta in R. As retas r e s definidas por
r:l alpha x+y+z=9 x-y+z=2 e s:l x-2 y+beta z=beta x+y+z=1
são ortogonais se, e somente se,
(A) alpha beta-2 alpha-beta-8=0
(B) alpha beta+2 alpha-beta-8=0
© alpha beta-2 alpha-beta+8=0
(D) alpha beta-2 alpha+beta+8=0
(E) alpha beta+2 alpha+beta+8=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas retas no espaço tridimensional definidas por sistemas de equações. Queremos descobrir quais valores de alpha e beta fazem com que essas retas sejam ortogonais, ou seja, perpendiculares entre si. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre vetores diretores de retas e como verificar se eles são perpendiculares usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor diretor da reta r. A reta r é definida pelo sistema:
alpha x + y + z = 9 x - y + z = 2
Para encontrar o vetor diretor, precisamos resolver esse sistema para expressar duas das variáveis em função da terceira. Vamos resolver para x e y usando o método de substituição ou eliminação.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(alpha x + y + z) - (x - y + z) = 9 - 2 (alpha - 1)x + 2y = 7
Agora, expressamos x em função de y:
x = 7 - 2yalpha - 1
Vamos escolher z = t como parâmetro. Então, temos:
x = 7 - 2yalpha - 1 y = y z = t
Isso nos dá o vetor diretor da reta r como:
vr = ( -2alpha - 1, 1, 0 )

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta s. A reta s é definida pelo sistema:
x - 2y + beta z = beta x + y + z = 1
Vamos resolver esse sistema da mesma forma. Subtraindo a segunda equação da primeira:
(x - 2y + beta z) - (x + y + z) = beta - 1 -3y + (beta - 1)z = beta - 1
Expressando y em função de z:
y = (beta - 1)z - (beta - 1)3
Escolhendo novamente z = t como parâmetro:
x = 1 - y - z y = (beta - 1)(t - 1)3 z = t
Isso nos dá o vetor diretor da reta s como:
vs = ( -(beta - 1)3, (beta - 1)3, 1 )

Passo 4

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, vr e vs, vamos verificar a condição para que eles sejam ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.
O produto escalar é dado por:
vr cdot vs = 0
Vamos calcular:
( -2alpha - 1 ) ( -(beta - 1)3 ) + (1) ( (beta - 1)3 ) + (0)(1) = 0 2(beta - 1)3(alpha - 1) + (beta - 1)3 = 0
Fatorando (beta - 1)3:
(beta - 1)3 ( 2alpha - 1 + 1 ) = 0

Passo 5

Para que a equação acima seja igual a zero, uma das duas condições deve ser satisfeita:
  1. (beta - 1)3 = 0 Rightarrow beta = 1
  2. 2alpha - 1 + 1 = 0
Vamos analisar cada caso:
Caso 1: beta = 1
Substituindo beta = 1 nas equações dadas, verificamos que isso não satisfaz as opções fornecidas, pois nenhuma delas corresponde a beta = 1 isoladamente.
Caso 2: 2alpha - 1 + 1 = 0
Resolvendo para alpha:
2alpha - 1 = -1 2 = -(alpha - 1) 2 = -alpha + 1 alpha = -1

Resposta

Nenhuma das opções corresponde a alpha = -1 e beta = 1. Portanto, há um erro nos cálculos ou nas opções fornecidas.

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