Sejam
. As retas
e
definidas por
são ortogonais se, e somente se,
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas retas no espaço tridimensional definidas por sistemas de equações. Queremos descobrir quais valores de
e
fazem com que essas retas sejam ortogonais, ou seja, perpendiculares entre si. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre vetores diretores de retas e como verificar se eles são perpendiculares usando o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o vetor diretor da reta
. A reta
é definida pelo sistema:
Para encontrar o vetor diretor, precisamos resolver esse sistema para expressar duas das variáveis em função da terceira. Vamos resolver para
e
usando o método de substituição ou eliminação.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, expressamos
em função de
:
Vamos escolher
como parâmetro. Então, temos:
Isso nos dá o vetor diretor da reta
como:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta
. A reta
é definida pelo sistema:
Vamos resolver esse sistema da mesma forma. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Expressando
em função de
:
Escolhendo novamente
como parâmetro:
Isso nos dá o vetor diretor da reta
como:
Passo 4
Agora que temos os vetores diretores das duas retas,
e
, vamos verificar a condição para que eles sejam ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.
O produto escalar é dado por:
Vamos calcular:
Fatorando
:
Passo 5
Para que a equação acima seja igual a zero, uma das duas condições deve ser satisfeita:
Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
Substituindo
nas equações dadas, verificamos que isso não satisfaz as opções fornecidas, pois nenhuma delas corresponde a
isoladamente.
Caso 2:
Resolvendo para
:
Resposta
Nenhuma das opções corresponde a
e
. Portanto, há um erro nos cálculos ou nas opções fornecidas.
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.
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. Em cada item, verifique se a matriz dada é ortogonal a
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.
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