Determine uma equação geral do plano que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma equação geral de um plano que passa pelo ponto
e que é perpendicular à reta
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, observamos que a reta
está definida por um vetor diretor
. Esse vetor indica a direção na qual a reta está apontando. Como o plano que queremos encontrar é perpendicular a essa reta, isso significa que o vetor diretor da reta será perpendicular ao plano, ou seja, será o vetor normal do plano.
Passo 3
Agora que sabemos que o vetor normal do plano é
e que o plano passa pelo ponto
, podemos usar a fórmula do plano na forma ponto-normal. Essa fórmula nos permite escrever a equação do plano quando conhecemos um ponto pelo qual ele passa e o seu vetor normal. A fórmula é:
Onde:
-
são as coordenadas genéricas de um ponto qualquer no plano. -
são as coordenadas do ponto . -
é o vetor normal ao plano.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Isso significa que fazemos o produto escalar entre os vetores:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a equação:
Resposta
A equação geral do plano é:
Exercícios relacionados
Seja
. Em cada item, verifique se a matriz dada é ortogonal a
em relação ao produto interno do Exercício anterior.
Sejam
e
matrizes
de um espaço vetorial
com produto interno
, calcule
em cada caso:
Sejam
. As retas
e
definidas por
são ortogonais se, e somente se,
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Determine a equação da elipse de focos
e que passa pelo ponto
.