Determine uma equação geral do plano que passa pelo ponto e é perpendicular à reta .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma equação geral de um plano que passa pelo ponto e que é perpendicular à reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, observamos que a reta está definida por um vetor diretor . Esse vetor indica a direção na qual a reta está apontando. Como o plano que queremos encontrar é perpendicular a essa reta, isso significa que o vetor diretor da reta será perpendicular ao plano, ou seja, será o vetor normal do plano.

Passo 3

Agora que sabemos que o vetor normal do plano é e que o plano passa pelo ponto , podemos usar a fórmula do plano na forma ponto-normal. Essa fórmula nos permite escrever a equação do plano quando conhecemos um ponto pelo qual ele passa e o seu vetor normal. A fórmula é:
Onde:
  • são as coordenadas genéricas de um ponto qualquer no plano.
  • são as coordenadas do ponto .
  • é o vetor normal ao plano.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula, temos:
Isso significa que fazemos o produto escalar entre os vetores:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação:

Resposta

A equação geral do plano é:

Exercícios relacionados

Seja . Em cada item, verifique se a matriz dada é ortogonal a em relação ao produto interno do Exercício anterior.
Sejam e matrizes de um espaço vetorial com produto interno , calcule em cada caso:
Sejam . As retas e definidas por
são ortogonais se, e somente se,
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Determine a equação da elipse de focos e que passa pelo ponto .