Determine uma equação geral do plano que passa pelo ponto P=(1,0,1) e é perpendicular à reta r: X=(0,0,1)+lambda(1,2,-1).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma equação geral de um plano que passa pelo ponto P = (1, 0, 1) e que é perpendicular à reta r: X = (0, 0, 1) + lambda(1, 2, -1). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, observamos que a reta r está definida por um vetor diretor (1, 2, -1). Esse vetor indica a direção na qual a reta está apontando. Como o plano que queremos encontrar é perpendicular a essa reta, isso significa que o vetor diretor da reta será perpendicular ao plano, ou seja, será o vetor normal do plano.

Passo 3

Agora que sabemos que o vetor normal do plano é n = (1, 2, -1) e que o plano passa pelo ponto P = (1, 0, 1), podemos usar a fórmula do plano na forma ponto-normal. Essa fórmula nos permite escrever a equação do plano quando conhecemos um ponto pelo qual ele passa e o seu vetor normal. A fórmula é:
(x - x0) cdot n = 0
Onde:
  • x = (x, y, z) são as coordenadas genéricas de um ponto qualquer no plano.
  • x0 = (1, 0, 1) são as coordenadas do ponto P.
  • n = (1, 2, -1) é o vetor normal ao plano.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula, temos:
(x - 1, , y - 0, , z - 1) cdot (1, 2, -1) = 0
Isso significa que fazemos o produto escalar entre os vetores:
1(x - 1) + 2(y - 0) + (-1)(z - 1) = 0

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação:
x - 1 + 2y - z + 1 = 0
x + 2y - z = 0

Resposta

A equação geral do plano é:
x + 2y - z = 0

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