Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
f)
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de matrizes 2x2 onde a primeira entrada é qualquer inteiro e as outras entradas são fixas: 0, 0 e 1. A operação que estamos usando é a soma e a multiplicação de matrizes. Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto é um subanel ou um ideal dentro do anel das matrizes 2x2 com entradas inteiras, .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subanel. Para um conjunto ser um subanel, ele precisa ser fechado sob adição e multiplicação, e também conter o elemento neutro (no caso, a matriz identidade). Vamos verificar isso para o nosso conjunto.
Passo 3
Vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Pegue duas matrizes quaisquer do conjunto:
[
+
]
Para que o conjunto seja fechado sob adição, a soma dessas matrizes também deve pertencer ao conjunto original. Mas no resultado, a entrada inferior direita é 2, e o conjunto original exige que essa entrada seja sempre 1. Portanto, a soma não pertence ao conjunto.
Passo 4
Como o conjunto não é fechado sob adição, ele já não pode ser um subanel. Não precisamos verificar a multiplicação. Agora, vamos pensar no que é um ideal.
Passo 5
Um ideal precisa ser um subanel e, além disso, deve satisfazer que, ao multiplicar qualquer matriz do anel por uma matriz do ideal, o resultado também está no ideal. Mas já vimos que o conjunto não é nem um subanel, então ele definitivamente não pode ser um ideal.
Resposta
O conjunto dado não é um subanel nem um ideal de .